有界数列

質問

f(x)は実数値関数とし、正定数0<r<1がとれて、任意の実数x，yに対し、条件
|f(x)-f(y)| _< r|x-y|　…(1)
が成立するときxに関する方程式
f(x)=x …(2)
がただ１つの実数解をもつことを以下の手順で示せ

(１)　f(x)=x,f(x')=x'であることを示して下さい、これは方程式方程式(2)が実数解をもてば、ただ１つである事を意味する。

(２)　x[0]を実定数とし、数列{ x[n] }を漸化式x[n+1]=f(x[n])で定めると、x[n]はコーシー列である事を示して下さい。

(３)　(2)の解をもつことを証明してください。

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もしこの問題に解答できる方がいらっしゃいましたらお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

(1)はまず問題が意味不明だけど、意図を推理すると：f(x)=x, f(y)=y且つx≠yなるx,yがあったとしてなんか矛盾が起こることを示す。
この時|x-y| = |f(x) - f(y)|≦ r|x-y|で、何か変ではないですか？

(2)|x[n+1] - x[n]| ≦ (r^n) |x[1] - x[0]|を先ず示す。ここからあるDがあってn<mなら|x[n]-x[m]| ≦ D * (r^n)となる事を示す。これから(x[n])がCauchy列である事を示す。

(3)先ずfが連続であることを示す。その上でコーシー列が収束する事と、連続な関数が持つある性質を使う。

お礼

大変よく理解することができました！！
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

tmpname

因みに(3)で書いた、「fが連続である事」ですが、分からなければ「Lipschitz連続」とかで検索すると良いです。

お礼

お礼が遅くなって申し訳ありません。

勉強になりました。私は数学が苦手な方なのですが理解することができるご回答でした