整式で表された関数f(x)が

質問

整式で表された関数f(x)が、f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき、f(x)を求めよ。
という問題で、f(x)がn次式であるとすると、教科書では、
(a)n=0,1のときf(x)=ax+bとおけ、f'(x)=aより与式に代入して、恒等的に解いて、f(x)=-x-1
(b)n>=2のとき左辺は2(n-1)次式、右辺はn次式より、2(n-1)=n n=2より
f(x)=px^2+qx+rとおいてf'(x)=2px+qより与式に代入して、恒等的に解いて、f(x)=(3/4)x^2+2x+2
ということらしいのですが、
n>=2のとき、例えば、f(x)=(1/2)x^2+cx+dのとき、f'(x)-xは定数(c)となり、左辺は1次式となって、
左辺は必ずしも2(2-1)=2次式とは言い切れないと思うのですが、どうでしょうか。解答として不十分なのでしょうか。
一度先生に質問してみたところ、n=2はあくまでも必要条件だから、このままでよいと言われましたが、
どういうことでしょうか。

解答お願いします。

回答No.3

jcpmutura

#1です。追加です。
整式で表された関数f(x)が、
f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき
f(x)を求めよというのだから
この(左辺=右辺)
は前提条件となります。
f(x)がn次式であるとすると
n≧2の時
(左辺=右辺)という前提条件のもとで
左辺が2(n-1)次式となるのです。

f(x)=(1/2)x^2+cx+dのとき、
f'(x)-xは定数(c)となり、
左辺は1次式
c(x+c)
となって、
右辺は2次式
(1/2)x^2+cx+d+2(x+1)
となり
左辺≠右辺
となり
(左辺=右辺)という前提条件に矛盾するので
n≧2の時
f(x)=(1/2)x^2+cx+d
となる事も
左辺が1次式となる事もありません
右辺が2次式であれば
左辺も必ず2次式でなければなりません。

回答No.2

jcpmutura

#1です。訂正です。
整式で表された関数f(x)が、
f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき
f(x)がn次式であるとすると
n=2のとき
左辺が1次式の時、右辺は2次式で
等号が成り立たず、
f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たしません

(a)
n=0,1のとき
f(x)=ax+bとおけ,
f'(x)=aより与式に代入して,
恒等的に解いて、
f(x)=-x-1

(b)
n≧2のとき

n>2を仮定すると
左辺は2(n-1)次式、右辺はn次式より、
2(n-1)=n
n=2となってn>2に矛盾

n=2より
p≠0
f(x)=px^2+qx+rとおいてf'(x)=2px+qより与式に代入して、
恒等的に解いて、
f(x)=(3/4)x^2+2x+2

回答No.1

jcpmutura

整式で表された関数f(x)が、
f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たすとき
というのだから

左辺が1次式の時、右辺は2次式で
等号が成り立たず、
f'(x){f'(x)-x}=f(x)+2(x+1)を満たしません

(a)
n=0,1のとき
f(x)=ax+bとおけ,
f'(x)=aより与式に代入して,
a^2-b-2=2(a+1)x=0
a^2=b+2
a=-1
b=-1
f(x)=-x-1

(b)
n=2のときn=2

n>2のとき
左辺は2(n-1)次式、右辺はn次式より、
2(n-1)=n

n=2より
f(x)=px^2+qx+rとおいてf'(x)=2px+qより与式に代入して、
恒等的に解いて、f(x)=(3/4)x^2+2x+2