a実数 f(x)=x^3-3ax とおく。

質問

a実数　f(x)=x^3-3ax とおく。
（１）f(x)=tが異なる３個の実数解をもつためには、a,tが満たす
　　　条件を求めよ。

　　　これは、y=f(x)とy=tの交点が3個になるときを考えて、
　　　答えは、a>0,-2a√a<t<2a√a

（２）g(x)=f(f(x))とおく。g(x)=0が異なる９個の実数解をもつような
　　　aの範囲を求めよ。

　　　(1)から、f(t)=0 ,t=x^3-3ax これを満たすxが９個あることを考えれば
　　　よいところまでは分かりましたが、このあとをどうしたらいいかわかりません。
　　　よろしくおねがいします。

回答No.3

noname#118674 · ベストアンサー

これはf(t)=0となるtの値が異なる3つの解をもち、かつ
各異なる3つのtに対してもf(x)=tとなるxの値が異なる3つの解を持てばいいわけだ。
ようするにf(t)=0⇔t=0,√3a,-√3a でa>0なら自動的にf(t)=0なるtの値は異なる3つ。
そして今度は1で考えた結果を利用してそれぞれtに当てはめて考えていくわけだ。
1)t=0のとき
　　　　　　1.よりa>0ならば結局f(x)=tなるxの値は異なる3つ
2)t=√3aのとき
　　　　　　1.よりa>0かつ-2a√a<√3a<2a√a ⇔a>4/3ならf(x)=tなるxの値は異なる3つ
3)t=-√3aのとき
　　　　　　　　1.よりa>0かつ-2a√a<-√3a<2a√a⇔a>4/3ならf(x)=tなるxの値は異なる3つ
以上からa>4/3なら各異なる3つのtに対してもf(x)=tとなるxの値が異なる3つの解を持つ。

お礼

回答ありがとうございます。
すっきりしていて、わかりやすい解答
でした。

回答No.4

mister_moonlight

tとxの対応は　1対3なので、tが与えられた範囲に異なる3つの実数解を持つと良い。
0=t^3-3at の3解が -2a√a<t<2a√a　にあればよい。
あとは、簡単な方程式と不等式を解くだけ、それだけだよ。。。。。。ｗ

置き換えたら、元の変数と置き換えた変数が、どのような対応になってるか必ずチェックする事。
特に、三角関数なんかは、対応が1対1でない場合が珍しくない。

お礼

回答ありがとうございます。
置き換えたら、元の変数と置き換えた変数が、どのような対応になってるか
この問題だけでなく、置き換えは、問題を解くときにわかりやすくもなるし、
複雑になって、つながりがわからなくなってしまう場合があります。
ありがとうございます。

回答No.2

mister_moonlight

何のために、(1)でtの範囲を定めたのか？
その限りにおいて、t=x^3-3ax とすると、tとxの対応は　1対3。
後は簡単だろう。a＞√3/2　かな　？

それから、今度質問する時は答えがわかってるなら、書いといて欲しい。
自慢じゃないが、計算ミスは日常茶飯事なんで。。。。。ｗ

お礼

回答ありがとうございます。
tとxの対応は　1対3に気づいてませんでした。
答えが無い問題なので、よろしくおねがいします。

回答No.1

nag0720

g(x)=(x^3-3ax)^3-3a(x^3-3ax)
=(x^3-3ax){(x^3-3ax)^2-3a}
=x(x^2-3a){x^3-3ax-√(3a)}{x^3-3ax+√(3a)}

a>0なら、x=0,√(3a),-√(3a)の３個が実数解があるから、
あとは、x^3-3ax-√(3a)=0で３個、x^3-3ax+√(3a)=0で３個の実数解があればいいことになる。

x^3-3ax-√(3a)=0
は、(1)でt=√(3a)の場合だから、aの条件は、
-2a√a<√(3a)<2a√a
これを解くと
a>√3/2

x^3-3ax+√(3a)=0
も同様に
-2a√a<-√(3a)<2a√a
からも
a>√3/2

以上から、aの範囲は　a>√3/2

ただし、このときの９個の実数解が異なること証明する必要があるがこれは簡単でしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
９個の実数解が異なること証明する必要がある。
をつぎのように考えました。
x(x^2-3a){x^3-3ax-√(3a)}{x^3-3ax+√(3a)}＝０
x=0・・(1)
x=+√3a,-√3a・・(2)
x^3-3ax-√(3a)=0・・(3)
x^3-3ax+√(3a)=0・・(4)
(1)と(2)の解はa=0 でないから異なる。
(1)の解は、代入すると(3)(4)の解ではないことは明らか。
(3)(4)に共通な解が存在するとすると-√(3a)=+√(3a)となり、矛盾
よって、解はすべて異なる。