関数の帰納的定義

質問

f(x)=(2x-1)/x とし、ｔを実数とする。すべての自然数ｎに対し実数fn(t)が
fn(t)=f(fn-1(t))、n=1,2,3・・・、ただしf0(t)＝ｔ
によって帰納的に定義できるためのｔの条件を求めよ

という問題なのですが、
「帰納的」といわれると「数学的帰納法」しか連想できなかったので、n=1をいれてみるとf1(t)＝(2t-1)/tとなったのですが、それ以降n=kのときを仮定し、n=k+1を考えてみたのですが変形できなく(?)、「ｔの条件」ってこれで求められるのかという疑問が生じ、さっぱりわからなくなってしまいました。
回答いただければ幸いです。宜しくお願いしたします

回答No.2

debut · ベストアンサー

f1(t)=(2t-1)/t　、f2(t)=(3t-2)/(2t-1)　、f3(t)=(4t-3)/(3t-2)　、・・・
から、fk(t)={(k+1)t-k}/{(kt-(k-1)}　と予想され、fk+1(t)を計算すると
{(k+2)t-(k+1)}/{(k+1)t-k}　となり、n=k+1でも成り立つことがいえます。

したがって、fn(t)={(n+1)k-n}/{nt-(n-1)} で、tの条件はおっしゃるとおり
　t≠(n-1)/n となります。

また、lim の方は普通に積分計算をすれば求まると思います。

回答No.3

debut

No2です。
　下から３行目の式、fn(t)={(n+1)k-n}/{nt-(n-1)} はfn(t)={(n+1)t-n}/{nt-(n-1)}
　の誤りでした。

回答No.1

rinkun

とりあえずf1(t)＝(2t-1)/tからt!=0が出ますね。
# !=はC言語の記法で not equal の意味です。

この要領で分母が0になる点を順次除外していけば良いかと思います。f2、f3辺りを計算してみれば傾向が見えるのではないでしょうか。

補足

回答ありがとうございます。
ｔ≠(n-1)/n　でいいのでしょうか？

この問題は極限値を求める問題が続いているのですが、そちらにも答えていただけると助かります
a≧１に対して
lim　　n^2 ∫[a，a+1/n]｛fn(t)－1｝dt
n→∞