高校数学の問題です。

質問

(sin x/2 + cos x/2)cos x/2=1+cos x

の解が

x=π , 1/2π　

となる理由を教えてください！！
詳しい解説お願いします！！

回答No.2

info22_

(sin(x/2)+cos(x/2))cos(x/2)=1+cos(x)
(sin(x/2)+cos(x/2))cos(x/2)=2(cos(x/2))^2
(sin(x/2)-cos(x/2))cos(x/2)=0
(√2)sin((x/2)-(π/4))cos(x/2)=0
xの範囲が書いてないので
sin((x/2)-(π/4))=0 または cos(x/2)=0

sin((x/2)-(π/4))=0のとき
(x/2)-(π/4)=mπ
∴ x=2mπ+(π/2) (mは任意の整数)

cos(x/2)=0のとき
x/2=nπ+(π/2)
∴ x=(2n+1)π (nは任意の整数)

>解がx=π,(1/2)π
問題に「0≦x＜2π」または「0≦x≦2π」という条件がありませんか？そうでなければ、このような解になりません。

xに「0≦x≦2π」のような範囲の条件がついているなら
m=0,n=0の場合だけになるので

答えは「x=π/2,π」となります。
お書きの解に一致します。

お礼

回答ありがとうございました！！

理解できました(^^*)

回答No.1

alice_44

{sin(x/2) + cos(x/2)}cos(x/2) = 1 + cos(x)
なら、右辺に倍角公式を使って
{sin(x/2) + cos(x/2)}cos(x/2) = 1 + 2{cos(x/2)}^2 - 1
より、
{sin(x/2) + cos(x/2) - 2cos(x/2)}cos(x/2) = 0
となり、
sin(x/2) - cos(x/2) = 0 または cos(x/2) = 0
と同値。

cos(x/2) = 0
の解は、
x/2 = ± π/2 + 2kπ (kは任意の整数)。

sin(x/2) - cos(x/2) = 0
の解は、左辺の三角関数を合成して
(-√2)cos(x/2 - π/4) = 0
より、
x/2 - π/4 = ± π/2 + 2kπ (kは任意の整数)。

まとめると、
x = -π+4kπ または (1/2)π+4kπ または π+4kπ または (3/2)π+4kπ (kは任意の整数)
となる。
x = π, (1/2)π も含むが、それだけではない。

お礼

回答ありがとうございました！！

助かりました(^_^)