高校数学の行列の問題の別解がわかりません

質問

高校数学の行列なのですが、同じ問題で質問を出してますが、こちらは別解が分からなかった
ので新しく出しました　問題は

行列(1/5,2/5,p,q)で表さられる平面上の1次変換fが原点を通るある直線l上への正射影となるように実数p,qの値を定め、直線lの方程式を求めよ

で解説が直線lの方向ベクトルを↑e=(cosθ,sinθ)とすると,fはl上への正射影だから

f;(cosθ、sinθ)→(cosθ,sinθ),(-sinθ,cosθ)→(0,0)となっていたのですが

f;(cosθ、sinθ)→(cosθ,sinθ)は分かるのですが、(-sinθ,cosθ)→(0,0)がどういう事なのか

分かりません　この後は解説に書いてある事は分かりました

後もうひとつの別解が↑x'=(↑x,↑e)↑e=↑e(↑e,↑x) これを行列を用いて表すと

とあるのですが、この最初の式が何を表しているのかが分かりません

(続き):(x',y')=(cosθ,sinθ)(cosθ,sinθ)(x,y)=(cos^2θ,cosθsinθ,sinθcosθ,sin^2θ)(x,y)

(x',y')=からの式は(cosθ,sinθ)は縦書きでcosθが上,cosθが下です,(cosθ,sinθ)は横書きでcosθが左sinθが右です(x,y)は縦書きでxが上,yが下です,(cos^2θ,cosθsinθ,sinθcosθ,sin^2θ)は行列で左から左上、右上、左下、右下の順です

この式も行列で表すと何故あの式になるのか分かりません

第三の別解がまだありまして、直線l上への正射影を考えるから直線l方向の固有値は1,lに垂直な方向の固有値は0とあるのですが、何故固有値が1や0になるのか分かりません

後は(注意)に平面上の点↑xをfで変換した点A↑xは直線l上の点であるからfは不動である
よってA^2↑x=A↑xとあるのですが、これも何でこんな事が言えるのか良く分からないです

たくさんありますが、どうかよろしくお願いします

回答No.4

SKJAXN · ベストアンサー

>何故y=-1x/2の方に0倍,ｙ＝２xの方に1倍と分かるのですか？

http://yamamoto-akira.org/butsuriya/WhatIsEigenValue.pdf

の８ページをご覧下さい。１次変換に対応する行列の固有値、および倍率の関係が記述されています。

>つまり原点ということですね

そうです。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

読んだんですが、あまり良くわからなかったんですが、固有値ってそのベクトルに固有値倍するって事ですか？

結局何でy=-1x/2の方に0倍,ｙ＝２xの方に1倍と分かるのですか？

回答No.3

SKJAXN

>では↑eは↑zの方向ベクトルの単位ベクトルなのですね？

そうです。

>固有値を求める時に、|A－λ*E|＝0この式はどこから出てきたのですか？

http://yamamoto-akira.org/butsuriya/WhatIsEigenValue.pdf

の２～３ページをご覧下さい。HPでは、λの代わりにaを使用してますね。

>これも何故0,1になればBが正射影を表すのかわかりません

見辛いですがテキスト入力のため、行列を[○, ○ ↓ ○, ○]、列ベクトルを[○ ↓ ○]として表現させていただきます。HPの４～８ページを並行してご覧下さい。
(A－λ*E)*↑x＝O [1/5－λ, 2/5 ↓ 2/5, 4/5－λ]*[x ↓ y]＝[0 ↓ 0]　・・・〔式1〕

固有値λ＝0に対して〔式1〕は、[1/5, 2/5 ↓ 2/5, 4/5]*[x ↓ y]＝[0 ↓ 0]
これより、1/5*x＋2/5*y＝0、2/5*x＋4/5*y＝0
すなわち、直線 y＝－1/2*x を表します。

固有値λ＝1に対して〔式1〕は、[－4/5, 2/5 ↓ 2/5, －1/5]*[x ↓ y]＝[0 ↓ 0]
これより、－4/5*x＋2/5*y＝0、2/5*x－1/5*y＝0
すなわち、直線 y＝2*x を表します。

直線 y＝－1/2*x と y＝2*x は原点で直交しており、x-y平面上の点はこの写像により、原点から直線 y＝－1/2*x の方向に0倍、y＝2*x の方向に1倍の点に移される訳で、これは正斜影そのものと言えるでしょう。

>正射影は(-sinθ,cosθ)をlに垂直に下ろした点に移るということですか？

ベクトル(cosθ, sinθ)への正斜影ですから、直交するベクトル(－sinθ, cosθ)は、lに垂直に下した点に移ります。

お礼

御返答ありがとうございます

補足

>直線 y＝－1/2*x の方向に0倍、y＝2*x の方向に1倍の点
>に移される訳で、これは正斜影そのものと言えるでしょう。
何故y=-1x/2の方に0倍,ｙ＝２xの方に1倍と分かるのですか？

>ベクトル(cosθ, sinθ)への正斜影ですから、直交するベク>トル(－sinθ, cosθ)は、lに垂直に下した点に移ります。
つまり原点ということですね

回答No.2

SKJAXN

>>↑x'は、単位ベクトルの実数倍（|↑x|*cosθ倍）の形に表現>できるため、〔式1〕は↑xを↑zへ正斜影したことになります。
>これで何で正射影したことを意味するのですか？

文字を羅列して説明するより、図で説明する方が早いと存じますので、

http://minami106.web.fc2.com/math/op.pdf

をご覧になって下さい。その上で、

>f;(cosθ、sinθ)→(cosθ,sinθ)は分かるのですが、(-sinθ,cosθ)→(0,0)がどういう事なのか

ベクトル(cosθ, sinθ)に対し、(－sinθ, cosθ)は直交します（∵　内積＝0であるため）。上記のHPのように、ベクトル(－sinθ, cosθ)を直線lに対して光を照らしてみて下さい。このベクトルの斜影は、(0, 0)にしか映りません。f;(-sinθ,cosθ)→(0,0)は、このことを説明しているものと存じます。

>>正斜影先の↑zは単位ベクトルでも構わないため
>↑zと↑eが同じということですか？どういうことですか

同じということではありません。↑zすなわち正斜影される側のベクトルは、大きさには意味を持たず方向のみ意味を持ちます。すなわち、正斜影される側のベクトルを↑zと同じ方向を向いている単位ベクトルに変えても問題ないということを申しています。

>直線l上への正射影を考えるから直線l方向の固有値は1,lに垂直な方向の固有値は0とあるのですが、何故固有値が1や0になるのか分かりません

行列の固有値とベクトルの写像の関係については、

http://yamamoto-akira.org/butsuriya/WhatIsEigenValue.pdf

の３章をご覧下さい。その上で、ベクトルの正斜影を表す1次変換行列
A＝[cos^2θ　cosθ*sinθ
sinθ*cosθ　sin^2θ]
の固有値を計算してみますと、|A－λ*E|＝0（ここでEは単位行列）より、
(cos^2θ－λ)*(sin^2θ－λ)－(cosθ*sinθ)^2＝0
⇔ λ^2－λ＝λ*(λ－1)＝0 ⇔ λ＝0, 1
となります。よって、
B＝[1/5　2/5
p　q]
の固有値も0, 1になれば、Bは正斜影を表す1次変換行列に帰着します。この下でp、qを算出すると、p＝2/5、q＝4/5と求まります。
さらにθを算出すると、cosθ＝1/√5、sinθ＝2/√5と求まり、直線lの傾きは、2であることが求まります。

>平面上の点↑xをfで変換した点A↑xは直線l上の点であるからfは不動である
よってA^2↑x=A↑xとあるのですが、これも何でこんな事が言えるのか良く分からないです

平面上の点↑xを、一度でもfで変換した点A↑xは直線l上の点になるのは、もう良いですよね。後は、直線l上の点に対して何度fで変換しても（一番初めのHPのとおり、何度光を照らしても）同じ点にしか移動しません。
A^2↑x=A↑x
の左辺は２度fにより変換した点、右辺は１度fにより変換した点を意味しており、同じ点であることは自明です。ここで、
B＝[1/5　2/5
p　q]
にケーリーハミルトンの定理を採用すると、
B^2－(1/5＋q)*B＋(q/5－(2*p)/5)*E＝O
であり、Bは正斜影を表す1次変換行列ですので、B^2＝Bを満たすp、qを求めると、1/5＋q＝1よりq＝4/5、q/5－(2*p)/5＝0よりp＝2/5と求まります。

私の説明能力では、以上となります。

お礼

御返事有難うございます、引き続きよろしくお願いします

補足

>ベクトルを↑zと同じ方向を向いている単位ベクトルに変えて>も問題ないということを申しています。
では↑eは↑zの方向ベクトルの単位ベクトルなのですね？

>固有値を計算してみますと、|A－λ*E|＝0（ここでEは単位
>行列）より
固有値を求める時に、|A－λ*E|＝0この式はどこから出てきたのですか？

>よって、
>B＝[1/5　2/5
>p　q]
>の固有値も0, 1になれば、Bは正斜影を表す1次変換行列に
>帰着します
これも何故0,1になればBが正射影を表すのかわかりません

>上記のHPのように、ベクトル(－sinθ, cosθ)を直線lに対
>して光を照らしてみて下さい。このベクトルの斜影は、
>(0, 0)にしか映りません。
正射影は(-sinθ,cosθ)をlに垂直に下ろした点に移るということですか？

回答No.1

SKJAXN

ご質問の内、１つだけの回答になりますが、
ベクトル↑xをベクトル↑zへ正斜影した際のベクトル↑x'は、
↑x'＝{(↑x・↑z)/|↑z|^2}*↑z　・・・〔式1〕
で表現できることは常套手段として有名ですが、ご存知ですか？
念のため〔式1〕をかみ砕くと、
↑x'＝|↑x|*|↑z|*cosθ/|↑z|*(↑z/|↑z|)　（ここでθは、↑xと↑zの成す角です）
　　＝|↑x|*cosθ*(↑z/|↑z|)　（ここで↑z/|↑z|は、↑zの大きさで除しているため単位ベクトルです）
以上より↑x'は、単位ベクトルの実数倍（|↑x|*cosθ倍）の形に表現できるため、〔式1〕は↑xを↑zへ正斜影したことになります。
正斜影先の↑zは単位ベクトルでも構わないため、単位ベクトル↑eに置き換えると、〔式1〕は
↑x'＝(↑x・↑e)*↑e（∵|↑e|^2＝1）
となり、ご質問の中盤で登場した式になります。

そもそも〔式1〕を使えば、本問は解決できます。直線の方向ベクトルを(1, a)とおくと、
(x', y')＝{(x, y)・(1, a)/(1＋a^2)}*(1, a)＝{(x＋a*y)/(1＋a^2)}*(1, a)＝((x＋a*y)/(1＋a^2), a*(x＋a*y)/(1＋a^2))　・・・〔式2〕
1次変換fにより
(x', y')＝(1/5*x＋2/5*y, p*x＋q*y)　・・・〔式3〕
〔式2〕〔式3〕から全ての(x, y)で成立するためには、
1/(1＋a^2)＝1/5
a/(1＋a^2)＝2/5
p＝a/(1＋a^2)
q＝a^2/(1＋a^2)
より、a＝2、p＝2/5、q＝4/5と求まります。〔式1〕が利いているため、必要十分です。

話は逸れますが、チャート式ってたいへんそうですね。解答を覚えることに時間を費やしてしまい、本質を考えることに時間を割けない懸念がありそうですね。私は、厚さ７ミリ程度の高校併用の問題集と模試の結果をボロボロになるまでやっていたため、チャート式は知らないです。

お礼

御返答ありがとうございます、引き続き御回答の方よろしくお願いします

補足

>f;(cosθ、sinθ)→(cosθ,sinθ),(-sinθ,cosθ)→(0,0)と
>なっていたのですが
>f;(cosθ、sinθ)→(cosθ,sinθ)は分かるのですが、(->sinθ,cosθ)→(0,0)がどういう事なのか
これが本当分からないです、是非解説よろしくお願いします

>ご質問の内、１つだけの回答になりますが
他の疑問点も是非ともよろしくお願いしたいです

>↑x'は、単位ベクトルの実数倍（|↑x|*cosθ倍）の形に表現>できるため、〔式1〕は↑xを↑zへ正斜影したことになりま
>す。
これで何で正射影したことを意味するのですか？

>正斜影先の↑zは単位ベクトルでも構わないため
↑zと↑eが同じということですか？どういうことですか

>チャート式ってたいへんそうですね。解答を覚えることに時>間を費やしてしまい、本質を考えることに時間を割けない懸>念がありそうですね。
はい、チャートは分厚すぎですね、でも今使ってる問題集よりは解説がわかりやすいのですが、演習問題まで全部となると時間的にほぼ不可能ですね、まだ通しで1回か2回しかできてません