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応用数学の問題がわからない！助けてください！
- 応用数学の問題について助けが必要です。連立方程式の解法や三角関数の性質について教えてください。
- 連立方程式の解法や三角関数の性質を使って、特定の式が成り立つことを示すことも教えてください。
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こんにちは。多分問題の符号が一箇所間違っていると思います。最初の設問さえできれば後は 芋ずる式に出てきます。 (sinα)x+(cosα)y=sinβ・・・(1) と(cosα)x-(sinα)y=cosβ・・・(2)の連立方程式と 思われます。質問者の2番目の式を(2)のようにyの係数を(sinα)から-(sinα)とすれば、 連立方程式の解x,yは x=cosβcosα+sinβsinα,y=sinβcosα-cosβsinα・・・(3)となります。このx,yがそれぞれ cos(β-α),sin(β-α)となって欲しい訳ですから、そう思われます。この(1)(2)のようにしたとき、 (1)(2)を(2)(1)と思って、これらは行列を用いて、 (cosα -sinα)(x) (sinα cosα)(y) = (cosβ) (sinβ)・・・(4) となります。ここで線型代数の知識を仮定します。[高校の数学Cの知識でもあります]つまり行列 A= (cosα -sinα) (sinα cosα) がxy-平面において原点の周りの角αの回転を表すということです。そしてt^(x,y) [t^は転値行列を意味する]を角αだけ回転したのがt^(cosβ,sinβ)で、(cosβ,sinβ)は単位円周上に ある[単位円周上の点は(cosθ,sinθ)と表せる]ので、(4)はこの単位円周上の点(x,y)を角αだけ回転 したのが、点(cosβ,sinβ)ということです。(cosβ,sinβ)とx軸のなす角はβとして問題ないから、 単位円周上の点(x,y)は角βをαだけ逆に回転すればよい。つまり、-α回転して (x,y)=(cos(β-α),sin(β-α))・・・(5)となるはずです。一方(4)を代数的に解くと、 (1)×sinα+(2)×cosα としてyが消去され、 x=cosβcosα+sinβsinα,(1)×cosα-(2)×sinα としてxが消去され、 y=sinβcosα-cosβsinαと(3)のようになる。(3)(5)から質問者の最初の質問である cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα,sin(β-α)=sinβcosα-cosβsinα・・・(6)がでます。 あとは(6)においてαを-αとおけばcos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinαを使って cos(β+α)=cosβcosα-sinβsinα,sin(β+α)=sinβcosα+cosβsinα・・・(7)がでます。 (6)でαとβを入れ替えれば、 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ・・・(8)がでます。 以降の第２・３・４式は(7)(8)をその右辺に代入して計算すればよい。ここらあたりは高校の 数学です。なお第６式は sinα=sin2(α/2)=2sin(α/2)cos(α/2) だから sin(α/2)cos(α/2)=(1/2)sinαが正しいと思います。 ◎なお行列 A= (cosα -sinα) (sinα cosα) が回転を表す一次変換ということ自体の証明が次に示すように (cosα -sinα)(cosθ) (sinα cosα)(sinθ) = (cosαcosθ-sinαsinθ) (sinαcosθ-cosαsinθ) = (cos(α+θ)) (sin(α+θ)) と加法定理を]基礎にしているので,NO1の方が仰っているようにこの設問は 循環論法になっていると思います。設問に A= (cosα -sinα) (sinα cosα) が角αの回転という事実を使用してよい、となっていれば 話は別です。
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- alice_44
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(1) ちょっと面白い発想のような気もするが… その連立方程式で cos(β-α)、sin(β-α) が求まると考えた時点で、 既に加法定理を使っている(または、証明してある)ことになる。 素直に加法定理で展開すれば済むのではないだろうか？ もし、この連立方程式を解くことで加法定理が示せると考えているならば、 それは循環論法でしかない。 問題の設計に無理があると思う。
