高校の数学

質問

質問です。
次の方程式を解いてください。
√10-x^2=x+2
＜ポイント＞
グラフを用いない無理方程式
２条して√をはずす
方程式の場合　Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つが逆は成り立たない…＊
√をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する

解説・解法
方程式の両辺を二乗して　10-x^2=(x+2)^2
整理して　(x-1)(x+3)＝０　よってｘ＝１,-3
X=-3は与えられた方程式を満たさないから　ｘ＝１

こういうことが問題集(黄チャート数３基本例題８)に書いてあるんですが
＊ の行に書いてあることが成り立つなら
＝で結ばれた式を両辺二乗して出した答えが
必ずしも成り立つとは正しいとは限らないということになって

たとえば

sinθ＋cosθ＝１／２
（sinθ＋cosθ）＾２＝１／４　　　sin^2θ＋cos^2θ＝１より
１＋２sinθcosθ＝１／４
sinθcosθ＝-3/8
この答えも両辺を２乗して出した答えだから
正しいとは限らないことになると思うんですが
僕の解釈はどこが間違ってるんですか？

回答No.3

info22

>sinθcosθ＝-3/8 …(■)
これはまだ答えではないね。
sin(2θ)=-3/4 …(□)
0≦θ＜2πであれば
0≦2θ≦4πなので
(■)すなわち(□)の解は次の４個存在します。
2θ=π+arcsin(3/4),2π-arcsin(3/4),3π+arcsin(3/4),4π-arcsin(3/4)
θ=(π/2)+(1/2)arcsin(3/4)=θ1,π-(1/2)arcsin(3/4)=θ2,
(3π/2)+(1/2)arcsin(3/4)=θ3,2π-(1/2)arcsin(3/4)=θ4

しかし、この4個の解の候補がすべて
元のsinθ＋cosθ＝1/2…(●)　を満たすわけではないということですね。
実際に調べて見ると
θ1とθ4が(●)を満たし
θ2とθ3は(●)を満たしませんね。

y=sinθ＋cosθ-(1/2)
と
y=sinθcosθ-(-3/8)

のグラフは下図のようになります。

それぞれのグラフがθ軸と交わる点が θ1,θ2,θ3,θ4です。
水色の線のところのθ1とθ4だけで２つのグラフがθ軸上で
交わっていますね。グラフからも（□）の解がすべて(■)の解
になるとは限らないということが確認できますね。

従って
「この答えも両辺を２乗して出した答えだから
正しいとは限らないことになると思うんですが
僕の解釈はどこが間違ってるんですか？」
この解釈は間違っていませんね。

回答No.2

mister_moonlight

＞上と下の根本的な違いは何なのかということなんです

簡単な事だよ。
方程式を解く事は、解が必要十分条件でなければならない。
ところが、求値問題は、必要条件として成立すればよいだけで、十分条件でもある必要はない。それだけの事。

回答No.1

mister_moonlight

＞方程式の場合　Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つが逆は成り立たない…＊

無理方程式の基本が分ってないようだ。

√（10-x^2）＝x+2　これは、x+2≧0、and、10-x^2＝（x+2）＾2　と同値。
従って、これを理解してれば、x＝-3　が除外される事は直ぐ分るだろう。

お礼

回答ありがとうございます。
いってることはわかるんですが
僕が一番ききたいのは下の問題も
両辺を二乗してるから必ずしも正しく
ないんじゃないかということなんです。
上と下の根本的な違いは何なのかということなんです。