高校数学(IIB)です。解説お願いします。

質問

xの方程式　√3(sin2x-cosx)-k=cos2x-sinxが0≦x<2πの範囲に異なる4つの解を持つ様なkの値を求めよ。

一応、2sin(2x-π/6)+2sin(x-π/3)=kという様に変形をしてみたのですが、手詰まりです。

解説お願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

2{sin(2x-π/6)+sin(x-π/3)}=k
↓sint=-cos(t+π/2)だから
2{-cos(2x-π/6+π/2)-cos(x-π/3+π/2)}=k
-2cos(2x+π/3)-2cos(x+π/6)=k
2cos(2x+π/3)+2cos(x+π/6)=-k
2cos{2(x+π/6)}+2cos(x+π/6)=-k
↓t=x+π/6とすると
2cos(2t)+2cost=-k
↓cos(2t)=2(cost)^2-1だから
2{2(cost)^2-1}+2cost=-k
4(cost)^2-2+2cost=-k
4(cost)^2+2cost-2=-k
4(cost)^2+2cost+k-2=0
↓X=costとすると
4X^2+2X+k-2=0

0≦x<2π
π/6≦x+π/6<13π/6
π/6≦t<13π/6
-1≦cost≦1
だから
-1≦X≦1
の範囲に
4X^2+2X+k-2=0
が
異なる2つの解X=α,X=βを持ち
cost=α
cost=β
がそれぞれ
π/6≦t<13π/6
の範囲に
異なる2つの解を持てばよい

f(X)=4X^2+2X+k-2
とすると
f(X)=4(X+1/4)^2+k-9/4
f(-1/4)=k-9/4<0
だから
k<9/4
f(-1)=4-2+k-2=k>0
だから
∴
0<k<9/4

お礼

出題者にも正解との返答をいただきました。
ありがとうございました。

回答No.2

gamma1854

k = -2*cos(2φ) - 2*cosφ, ただし、φ=x+pi/6.
このように変形するとうまくいきます。
この先を考えてください。
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※ 「合成」は１とおりではありません。

お礼

出題者にも正解との返答をいただきました。
ありがとうございました。