大至急！高II数学 問題

質問

分からない宿題があるので、回答と解説をお願いします

＜１＞２直線ｙ＝2x,y=1/3xのなす角θを求めよ。ただし、０<θ＜π/2とする

＜２＞0<α<π/２でsinθ＝3/5のとき、次の値を求めよ

●１cosα
●２sin2α
●３cos2α

回答No.3

いろは にほへと（@dormitory）

(1)は教科書に典型的な考察対象として取り上げられているので、ご参照あれ。それでも分からなければ、御質問を。
(2)はNo.1にある通り、θでなくαでないと、関連性が無いのでミスタイプではないかと思います。始めから順に、
sinα^2+cosα^2=1を利用。次いで二倍角公式を利用。

回答No.2

t-yamada_2

法線ベクトル（直線に90度の垂線を引いた物）のなす角（成分と内積）で求める方法です。

(1)法線ベクトルの成分
　aX+bY+c＝0　の成分は(a,b)という公式から
　y＝2x ⇒ 2x-y=0 ⇒ (2,-1)
　y=1/3x ⇒ 1/3x-y=0 ⇒ (1/3,-1)

(2)法線ベクトルの内積
　p・q＝(a,b)・(c,d)＝a*c+b*dという公式から
　y＝2x ⇒ (2,-1)　と　y=1/3x ⇒ (1/3,-1)から
　(2,-1)・(1/3,-1)＝2*1/3+(-1)*(-1)＝5/3

　｜p｜＝√(2^2+(-1)^2)＝√5
　｜q｜＝√((1/3)^2+(-1)^2)＝√(10/9)＝(√10)/3

　｜p｜・｜q｜・cosθ＝内積の値より
　√5*(√10)/3*cosθ＝5/3
　cosθ＝1/√2
　よってθ＝45度

詳しくは下記動画で。
http://www.youtube.com/watch?v=oN3ZbSn1IiQ

回答No.1

karamarimo

(1)
直線 y＝2x, y=x/3 とx軸の正の向きとの成す角をそれぞれα、βとすると、
tanα=2, tanβ=1/3 となり、求める角 θ=α-β だから
tanθ = tan(α-β) = (tanα-tanβ)/(1+tanα*tanβ)
計算すると、tanθ=1 0<θ<π/2 だから θ=π/4

(2)
「sinθ＝3/5」は「sinα＝3/5」の間違いですよね？
１：0<α<π/2 だから cosα>0 で cosα = √1-sinα^2 = 4/5
２：sin2α = 2sinαcosα = 24/25
３：cos2α = 2cosα^2-1 (= 1-2sinα^2) = 7/25

ご理解頂けたでしょうか？