数学の問題

質問

数学の問題なのですが、どなたか解き方を詳しく解説していただけますか？
当方、社会人なので、すっかり忘れてしまいました・・・。

「θ = sin－1(x/a), のとき　cos θ = [√(a2 – x2)] / a　となることを証明せよ。」

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

＃１です．

＞＞ところで、^　は何の記号なのでしょうか・・・？

　^　は，累乗を表す記号です．例えば，３の二乗を，3^2 と表したり，x の三乗は，x^3 と書きます．また，√x を，x^(1/2) と書くこともあります．

　^　の記号は，TeX（テフ）と言う組版ソフト（フリーソフト）から来ているものとも考えられます．

お礼

^は累乗のことだったんですね。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

A No.1 にあるとおり、
cosθ ＝ ±(1/a)√(a^2－x^2) が正解です。
これが
cosθ = [√(a2 – x2)]/a と一致するためには、
a と cosθ の符号に関して、何らかの仮定が必要です。
a > 0 かつ 0 < θ < π/2 なら十分ですが、
a と cosθ が同符号… と仮定するだけでも
よいかもしれません。
ともかく、無条件では、質問の式にはなりません。

回答No.1

Knotopolog

θ ＝ sin－1(x/a) から，

sinθ ＝ x/a

です．sinθ と cos θ の関係に，

sin^2θ ＋ cos^2θ ＝1 がありますから，

cosθ ＝±√(1－sin^2θ) です．sinθ＝x/a を代入すると，

cosθ ＝±√(1－(x/a)^2)

となります．変形すると，

cosθ ＝±√[(1/a)^2(a^2－x^2)]

cosθ ＝±(1/a)√(a^2－x^2)

です．上式の正のみを取り，

cosθ ＝(1/a)√(a^2－x^2) ＝[√(a^2－x^2)]/a

とすると，

cos^2θ ＝(a^2－x^2)/a^2

一方，sinθ ＝ x/a　より，

sin^2θ ＝ (x/a)^2

故に，sin^2θ ＋cos^2θ を計算すると，

sin^2θ ＋cos^2θ＝ (x/a)^2 ＋(a^2－x^2)/a^2＝
＝(x^2/a^2 ＋(a^2－x^2)/a^2＝(x^2＋a^2－x^2)/a^2＝
＝(a^2)/a^2＝1

sin^2θ ＋cos^2θ＝ 1 を満たす．　　Ｑ.Ｅ.Ｄ.

お礼

ご回答ありがとうございます。
ところで、^　は何の記号なのでしょうか・・・？