高校の数学です

質問

質問です。
次の方程式を解いてください。
√10-x^2=x+2
＜ポイント＞
グラフを用いない無理方程式
２条して√をはずす
方程式の場合　Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つが逆は成り立たない…＊
√をはずして得た解が最初の方程式を満たすかどうか確認する

解説・解法
方程式の両辺を二乗して　10-x^2=(x+2)^2
整理して　(x-1)(x+3)＝０　よってｘ＝１,-3
X=-3は与えられた方程式を満たさないから　ｘ＝１

こういうことが問題集(黄チャート数３基本例題８)に書いてあるんですが
＊ の行に書いてあることが成り立つなら
＝で結ばれた式を両辺二乗して出した答えが
必ずしも成り立つとは正しいとは限らないということになって

たとえば

sinθ＋cosθ＝１／２
（sinθ＋cosθ）＾２＝１／４　　　sin^2θ＋cos^2θ＝１より
１＋２sinθcosθ＝１／４
sinθcosθ＝-3/8
この答えも両辺を２乗して出した答えだから
正しいとは限らないことになると思うんですが
僕の解釈はどこが間違ってるんですか？

回答No.4

eibu

＊より、
sinθcosθ＝-3/8 の解がsinθ＋cosθ＝１／２ を満たすとは限りませんが
sinθ＋cosθ＝１／２ の解は全てsinθcosθ＝-3/8を満たします。

したがって、
sinθcosθ＝-3/8を満たす解のうち、代入してsinθ＋cosθ＝１／２を満たすものを探せばいいのです。

回答No.3

nag0720

sinθcosθ＝-3/8
ここまでは正しいです。
これを解くには、倍角の公式を使って、
sin2θ＝-3/4
この解は、0≦θ＜2π　の範囲では４個あります。

しかし、この４個の解すべてが、
sinθ＋cosθ＝1/2
を満たすとは限りません。

４個のうち２個は、
sinθ＋cosθ＝-1/2
となります。

回答No.2

bgm38489

無理方程式の方は、x=-2のとき、x^2=4であるが、x=±２ではない、といっているだけです。つまり、平方すると（ルートを外すと）正も負も共に正になるからです。x=-3としたら、左辺が負になる。これは、与式を満たさない、というわけです。
一方、三角関数のほうは、両辺ともに正とわかっているから、平方してもかまわないわけです。それを変形していったら、sinθcosθの値が出てきた。これは、方程式の解ではないのです。

回答No.1

sotom

Ａ＝Ｂ→Ａ＾２＝Ｂ＾２は成り立つが、逆は成り立たない

逆とはどういうことか？　Ａ＾２＝Ｂ＾２→Ａ＝Ｂ。これが逆です。

そりゃ、Ａ＝３、Ｂ＝－３なら、逆の式は成り立たないからねｗ