高校数学 解と係数の関係式について

質問

1、cos5θ=f(cosθ)　を満たす多項式f(x)を求めよ。
　2、cos(π/10)cos(3π/10)cos(7π/10)cos(9π/10)=5/16　を示せ。

　問1の答えはf(x)=16x^5 - 20x^3 + 5x
　　　　　　　　 =16x{x^4 -(5/4)x + 5/16}　となります。

　x^4 -(5/4)x + (5/16)=0 はcos(π/10)、cos(3π/10)、cos(7π/10)、cos(9π/10)を解に持つことから、解と係数の関係式を用いて問2の命題を証明するのですが、その際にcos(π/10)、cos(3π/10)、cos(7π/10)、cos(9π/10)が互いに異なることを示さなければいけないそうです。
　解と係数の関係式は解が重解であろうが虚数解であろうが関係なく成り立つものだと思っていたのですが、違うのでしょうか。なぜこれらの解が互いに異なることを示さなければならないのか教えてください。

回答No.3

info22

>x^4 -(5/4)x + (5/16)=0 は
これは
x^4 -(5/4)x^2 + (5/16)=0
のケアレスミスですね。

f(x)=16x{x^4 -(5/4)x^2 + (5/16)}=0
ですから...。

f(x)=0のx≠0の解は
x^4 -(5/4)x^2 + (5/16)}=0　…(●)
{x^2-(5-√5)/8}{x^2-(5+√5)/8}=0
なので異なる４個の解を持ちます。
(●)を満たす異なる解が4個存在しますが、
cos(π/10)、cos(3π/10)、cos(7π/10)、cos(9π/10)の4個が(●)を満たしても、
それらが互いに異ならなければ、(●)の異なる4個の解になり得ません
（異なる候補が3個以下になってしまう）
から、全て異なることを示さなければ、(●)の異なる4個の解になりえないことになります。

お分かりですか。

互いに異なる解（a,b,c,d）と係数の関係の
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
を展開した時の定数項 abcd=5/16 …(◆)
におけるa,b,c,dは今の場合互いに異なる解であるので、
cos(π/10)、cos(3π/10)、cos(7π/10)、cos(9π/10)…(●)
が解であっても重複解（重解）が含まれていれば、異なる4個の解でなくなり、他にa,b,c,dの中の解が存在することになって、
(●)はa,b,c,dに1:1に対応しなくなります。すると
(◆)の解と係数の関係が適用できなくなりますね。

従って、(●)が互いに異なることを示してa,b,c,dに1:1に対応することをいわないといけないのです。

お礼

納得しました。詳しく説明していただいてありがとうございました。

回答No.2

sono0315

この形に因数分解されるとしたら
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)

x^4+(d+c+b+a)x^3+((c+b+a)d+(b+a)c+ab)x^2+(((b+a)c+ab)d+abc)x+abcd
となります。

あとは
x^4-(5x^2)/4+5/16
と係数比較して4元の連立方程式を解くんですよね。

私は解いてないのでわかりませんが、途中でもし(a-b)や(b-c)といった係数で両辺
を割るようなことが必要になったら重解だと解けなくなりますよね？
んーー、、でも、理由にはならないかな。

ちなみに
x^4-(5x^2)/4+5/16＝０
の解xは
±{√(5±√5)/(2√2)}
です。

お礼

参考になりました。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「解と係数の関係」そのものは重解であろうと成り立ちますが, 「～を解に持つから」という表現は重解をもつときに問題となりえます.
例えば
(x-1)^3(x+1) = x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = 0 の解は x=1 (3重解), -1
ですが, だからといって「この方程式は 1 と -1 を解に持つから 1^2 ・(-1)^2 = -1」とはできませんよね.

お礼

納得しました。ありがとうございました。