数学IIの問題・三角関数

質問

xの2次方程式、x^2-2xsinθ-3cosθ/2=0の2つのがともに正になるθの値の範囲を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする

f(x)=(x-sinθ)^2-sinθ^2-3cosθ/2として、2つの解が正になればよいので、軸>0、f(0)>0、f(sinθ)≦0という所まで解きましたが、その後がさっぱり進みません。計算方法と解答を宜しくお願いします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

この二次方程式の二つの解をｐおよびｑとすると、この方程式は
（ｘ－ｐ）（ｘ－ｑ）＝０
であり、展開すると
ｘ＾２－（ｐ＋ｑ）ｘ＋ｐｑ＝０
です。ここでｐ、ｑがともに正であれば、
ｐｑ＞０　かつ　ｐ＋ｑ＞０
です。これを元の方程式と比較すると、
３ｃｏｓΘ／２＜０　かつ　２ｓｉｎΘ＞０
これを解いて下さい。

で、質問文にある解き方ですが、
ｆ（０）＝－３ｃｏｓΘ／２
なので、ｆ（０）＞０　は　３ｃｏｓΘ／２＜０　と同じですね。

また、軸＞０　は　ｓｉｎΘ＞０　ですね。

そしてｆ（ｓｉｎΘ）は頂点のｙ座標がゼロ以下、つまり実数解を
もつ条件ですね。
ｆ（ｓｉｎΘ）＝－（ｓｉｎΘ）＾２－３ｃｏｓΘ／２
　　　　　＝－１＋（ｃｏｓΘ）＾２－３ｃｏｓΘ／２
　　　　　＝（ｃｏｓΘー２）（ｃｏｓΘ＋１／２）＜＝０

以上の三つの不等式を解けばΘの範囲が出ます。

別解として
この二次方程式の二つの解をｐおよびｑとすると、この方程式は
（ｘ－ｐ）（ｘ－ｑ）＝０
であり、展開すると
ｘ＾２－（ｐ＋ｑ）ｘ＋ｐｑ＝０
です。ここでｐ、ｑがともに正であれば、
ｐｑ＞０　かつ　ｐ＋ｑ＞０
です。これを元の方程式と比較すると、
３ｃｏｓΘ／２＜０　かつ　２ｓｉｎΘ＞０
これに実数解を持つ条件（ｆ（ｓｉｎΘ）＜＝０）　をプラスすると同じ
結果になります。

回答No.3

mnakauye

こんにちは。

　回答１の方の質問にお答えが無いのですが、

　3cosθ/2　は　3cos(θ/2)だろうとしてとくと、該当する解が存在しないことになりますので、

　（3/2)cosθ　として解きます。

　方針はあなたのやっているとおりで良いでしょう。

　さて、まず　軸>0　から　sinθ＞０・・・(1)
　　　　　　　f(0)>0　から　ー（3/2)cosθ＞０　・・・(2)

　　そして、f(sinθ)≦0　から、-(sinθ)^2-(3/2)cosθ≦0 ・・・(3)

　　　ですね。、

　　　　(2)から、cosθ＜０　(4)

　　　　また(3)は、公式　（sinθ)^2+(cosθ)^2＝１
を使って、

　　　　　　　－（１ー（cosθ)^2）-(3/2)cosθ≦0

　　　　　　cosθ＝Aとおくと

　　　　　　　A^2-(3/2)A－１≦0　　２A^2-3A－２≦0

因数分解して、（２A+1）（A-2）≦0　　つまり　-1/2 ≦ A ≦ ２

　　　　　-1 ≦ A ≦ １であるから　-1/2 ≦ A ≦ １・・・(5)

　　　　　以上まとめると、　(4)と(5)から　-1/2 ≦ cosθ＜０

　　　　　　　sinθ＞０・・・(1)

　　　　 これを満たす　θ　は、　0≦θ<2π　では　

　　　　　（2/3)π　≦　θ　<（1/2）π

　　　　　(図の単位円を参照)　　　

　　なお、　3cosθ/2　は　3cos(θ/2)としてとくと、

　　　f(sinθ)≦0　をみたす　θ　が無くなり、2次方程式は条件に合う解は持たないことになります。

　　　（そもそも実数解を持たないことになる）

　　　もう一度計算してみますが・・・・・・

回答No.1

spring135

3cosθ/2は

(3/2)cos(θ)ですか、3cos(θ/2)ですか。