因数分解です；

質問

x^4-11x^2y^2+y^4

という問題で、

（x^2+y^2）^2 とすると、 x^4+2x^2y^2+y^4-13x^2y^2 となる、と書いてあるのですが、
この -13x^2y^2 がどうしたら出てくるのかわかりません。

あと、「よって、間をマイナスにして（x^2-y^2）^2 の方で考える」
とありますが、マイナスにするとどうして x^4-2x^2y^2+y^4-9x^2y^2 になるんでしょうか？

最初の方は理解出来るのですが、後の方の -13x^2y^2 と -9x^2y^2 の出し方が全く分かりません。

見にくくてすみません；
わかりやすく教えていただけると嬉しいです。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(x^2 + y^2)^2
= x^4 + 2x^2y^2 + y^4
ですから、元の式である
x^4 - 11x^2y^2 + y^4
とつじつまを合わせるには、
(x^2 + y^2)^2
= x^4 + 2x^2y^2 + y^4
ここから13x^2y^2を引くことが必要です。

(x^2 - y^2)^2
= x^4 - 2x^2y^2 + y^4
ですから、元の式である
x^4 - 11x^2y^2 + y^4
とつじつまを合わせるには、
(x^2 - y^2)^2
= x^4 - 2x^2y^2 + y^4
ここから9x^2y^2を引くことが必要です。

お礼

ありがとうございます。
やっと理解できました。

つじつまを合わせるのに必要だったんですね。
今まで何となく半分にしてました；笑

質問してよかったです。
本当にありがとうございました！

回答No.4

noname#175206

間違えたあ！　後半で、-と+間違えました。

x^4-11x^2y^2+y^4＝(x^4-2x^2y^2+y^4)-9x^2y^2＝(x^2-y^2)^2-9x^2y^2

　すると、9x^2y^2＝(3xy)^2となることが分かりますから、もう少し因数分解を進めることができます。

x^4-11x^2y^2+y^4＝(x^2-y^2)^2-9x^2y^2
＝(x^2+y^2-3xy)(x^2+y^2+3xy)
＝(x^2-3xy-y^2)(x^2+3xy-y^2)

　すみません。m(_ _)m

お礼

回答ありがとうございます。

馬鹿な私にもやっと理解できました。
やっぱり「なんとなく理解したつもり」では必ずつまずきますね；

ご丁寧に訂正までありがとうございました！

回答No.3

noname#175206

>（x^2+y^2）^2 とすると、 x^4+2x^2y^2+y^4-13x^2y^2 となる、と書いてあるのですが、
>この -13x^2y^2 がどうしたら出てくるのかわかりません。

(x^2+y^2)^2＝x^4+2x^2y^2+y^4

です。すると、x^4-11x^2y^2+y^4と見比べると、

x^4-11x^2y^2+y^4＝(x^4+2x^2y^2+y^4)-13x^2y^2＝(x^2+y^2)^2-13x^2y^2

と変形できることが分かります。

>あと、「よって、間をマイナスにして（x^2-y^2）^2 の方で考える」

同じような狙いで(x^2-y^2)^2を作ることを考えていきます。

>とありますが、マイナスにするとどうして x^4-2x^2y^2+y^4-9x^2y^2 になるんでしょうか？

x^4-11x^2y^2+y^4＝(x^4-2x^2y^2+y^4)-9x^2y^2＝(x^2+y^2)^2-9x^2y^2

　すると、9x^2y^2＝(3xy)^2となることが分かりますから、もう少し因数分解を進めることができます。

x^4-11x^2y^2+y^4＝(x^2+y^2)^2-9x^2y^2
＝(x^2+y^2-3xy)(x^2+y^2+3xy)
＝(x^2-3xy+y^2)(x^2+3xy+y^2)

回答No.2

Kirby64

（x^2+y^2）^2 はx^4+2x^2y^2+y^4ニャ。
元の式がx^4-11x^2y^2+y^4だから
x^4-11x^2y^2+y^4-(x^4+2x^2y^2+y^4)=-13x^2y^2ニャ。
x^4+2x^2y^2+y^4-13x^2y^2
=（x^2+y^2）^2-13x^2y^2では、これ以上因数分解が進まないから、（x^2-y^2）^2 の方で考えるのニャ。

（x^2-y^2）^2はx^4+2x^2y^2+y^4ニャ。
元の式がx^4-11x^2y^2+y^4だから
x^4-11x^2y^2+y^4-(x^4-2x^2y^2+y^4)=-9x^2y^2ニャ。
（x^2-y^2）^2-9x^2y^2はX2-Y2の形だから、(X+Y)(X-Y)に因数分解できるニャ。

答えは
(x2-y2+3xy)(x2-y2-3xy)整理して
=(x2+3xy-y2)(x2-3xy-y2)終わり

お礼

回答ありがとうございます＾＾
やっと理解できました。

（猫チャン可愛いですね！ウチの猫にそっくりでびっくりです。Kirby64さんからの回答、猫チャンからみたいでほっこりしました～。）

ありがとうございました！