因数分解を教えてください。

質問

あの、初歩的な質問かもしれませんが
わからないので教えてください。

問題
（x-y)^2-4x＋4y
答え
（x-y)^2-4(x-y)=(x-y)(x-y-4)
となるんですが
この(x-y)^2-4(x-y)から(x-y)(x-y-4)になる
過程がわからないんです。
どうして、(x-y)(x-y-4)になるんでしょうか？
こういう問題ばかり間違えてしまいます。
どうか、教えてください。

あと、因数分解が得意になるには
式の展開（乗法公式）を頭にたたきこむしか
ないのでしょうかね・・・（涙）

回答No.4

starflora · ベストアンサー

因数分解の解き方ですが、普通、因数分解の問題に出てくるものは、きれいに整数を使って解けるようになっています。整数にならなくても、簡単な分数です。だから、解けるという前提で考えるのです（簡単に因数分解できなものは、二次方程式の解法とかいうような問題になって出てきて、「因数分解の問題」では出てきません）。

　　それと、「因数分解」とは何のことなのかを、よく理解されると解けるようになります。因数分解というのは、複雑に見える式を、（簡単な式）Ｘ（簡単な式）Ｘ（簡単な式）という風に、簡単な式のかけ算に直すことです。この「簡単な式」が、「因数」になるので、因数分解と呼ぶのです。

　　因数分解の上の説明から、「簡単な式」が、問題の式のなかに、重なって含まれている場合は、それをくくってまとめることができることが分かります。

　　(x-y)^2-4(x-y)

　　という式なら、よくよく見ると、(x-y) という式が、二つの (　) の式のなかに共通してあります。これは、(x-y) でくくってまとめることができるということなのです。つまり、(x-y) は、因数になるということです。

　　前の (x-y)^2 は、(x-y) をくくって出すと、残るのは、(x-y) になります。また後の -4(x-y) は、やはり (x-y) をくくって出すと、残るのは、-4 になります。だから、答えは、(x-y)(x-y-4) となるのです。

　　無論、上の計算を暗算でする必要はないのです。式をよく見て、(x-y) でくくれると思えば、(x-y) ＝　A と置いてみてもいいですし、(x-y) をくくると、前の式は、(x-y) が残り、後の式は、-4 が残る。これを足すことになるので、足してみると……で答えが出てきます。

　　因数分解の一つのテクニックとして、解けないように思える時、数字を式に代入して見るという方法があります。代入してみて、全体がゼロになる場合、この式は、(x-a) という式で因数分解できるのです（a がその代入した数字です）。

　　例えば、x^3-8 というのを因数分解せよというと困りますが、x=2 を代入してみると、この式はゼロになります。つまり、この式は、(x-2) で因数分解できるということが分かるのです。

　　（この先は、(x-2)(x^2+?x+?) となり、後の ? は、-2 とかけて -8 になるので、4 だと分かり、(x-2)(x^2+?x+4) となり、ではこの残った ? はということになります。これは、元の式が、x^3-8 ですから、x^2 も x もないので、これらの項がゼロになえうように、?x を決めると、自動的に解けます。少し練習しないと、難しいかも知れませんが、問題に出てくる因数分解は解けるのだというのが原則です。二次方程式を解かないと答えが出てこないような問題は、因数分解の問題としては、普通出てきません）。

お礼

数字を代入して、０になるのは因数だと
いうことは、全然、知らなかったです。
もし、試験でつまづいてしまったら
この方法を利用させてもらおうと思っています。
裏ワザを教えていただいて
ありがとうございました。
また、親切に解答を書いてくださって
とってもうれしかったです(⌒-⌒)

回答No.3

noname#7269

こんにちは！頑張っていますね！
因数分解の基本は、ズバリ「共通因数」でくくる。
つまり、共通なものでくくる、です。
だから、ｘ＾２－２ｘ－８のような問題をよく訓練しますが、（たしていくら？かけていくら？って問題）この問題のような、応用の問題は基本に忠実にします。つまり、同じ物を探すのです。これは、形を変えて隠れています。頑張って探します。「最低次数でくくる」とかありますが、この場合ｘ－ｙが隠れているのに気づくかどうかでしょう！
（ｘ－ｙ）＾２－４（ｘ－ｙ）になったら、ｘ－ｙが共通なものになります。あとは、お二方のように置き換えでもすれば分かるのでないでしょうか？
数学＝計算に思われがちですが、数学は計算だけではありません。なぜこうすれば、そうなるのか？そこを徹底的に考え、身に付けてください。
時間はかかるかもしれませんが、結局は近道になりますよ。くそ勉強はしないでね？（ただの暗記）

お礼

こんばんは=*＾-＾*=♪
どうも、励ましのお言葉ありがとうございます。

この共通因数を見つけるのが
まだまだ私は慣れてないようです。
もっと、問題をこなさなくては
いけないんですけどね・・・

x-yが隠れているのは気づいたんですが
質問にも書いたとおり
答えまでの過程が納得できなかったので
質問させていただきました。

皆さんのおかげで
理解することが出来たので
これでまた、頑張れそうです！！

なぜ、そうなるのか？
と考えながら楽しく数学を勉強して
いきたいと思っています。

もうすぐ、試験日なので
くそ勉強しなければいけないみたいです・・・
（言葉が悪くてすみません＾＾）

回答No.2

yancha-moncha

（ｘ－ｙ）をＡなどに置き換えて考える方法を習いませんでしたか？
ところで、＾２は２乗でいいんですよね。

（ｘ－ｙ）をＡに置き換えると、
（ｘ－ｙ）＾２－４（ｘ－ｙ）はＡ＾２－４Ａになりますよね。
Ａ*Ａ－Ａ*４と言うことで、Ａを括弧でくくるとＡ（Ａ－４）
Ａを（ｘ－ｙ）に戻してやると、
（ｘ－ｙ）（ｘ－ｙ－４）となります。

因数分解のみならず数学は問題を解くことが大切だと私は思います。
高校生の頃、泣きながら因数分解をしていたことを思い出し懐かしくなりました。もう二度と、あの頃には戻りたくないです。（T_T）

お礼

Aに置き換えてやる方法・・・
忘れていました。
ここでは、この方法を使えばよかったんですね。
私は、まだ練習不足みたいです。
どうも、初歩的な質問をしてすみませんでした。

数学は、問題をこなすことで
実になるのですね。
試験日まで、日にちがないですが
頑張っていきたいと思ってます。

わかりやすく書いてくださり
ありがとうございました(⌒-⌒)

回答No.1

TrickOrTreat

Z = x - y とすると

Z^2 -4Z = Z(Z-4)

となります。ここで Z = x - y であるので、答えの式のようになります。
この問題のつぼはむしろ

(x-y)^2 -4(x-y)

というのに気がつくかどうかでしょう。
問題数をこなすとコツがわかってきます。

お礼

(x-y)^2-4(x-y)
というのには気がついていたんですが
その先がどうしてもわかりませんでした。
おかげで、納得できました。
どうも、ありがとうございました(⌒-⌒)