３次の因数分解

質問

連立方程式
(x＾3)＋(y＾3)＋3xy-1=0
と
(x＾2)＋(y＾2)=2
を満たす実数x,yの求める問題で
(x＾3)＋(y＾3)＋3xy-1=0
から
★(x＋y-1){(x＾2)＋(y＾2)-xy＋x＋y＋1}=0になることが分かりません。
(x＋y-1)…(1)
★(x＾2)＋(ｙ＾2)=2←はどのように現れたのでしょうか？
{(x＾2)＋(y＾2)-xy＋x＋y＋1}を利用すると思うのですがどうやって(x＾2)＋(ｙ＾2)=2がでたのか分かりません。
これを…(2)として
(1)より
x＋y=1を両辺2乗して
(x＾2)＋2xy＋(y＾2)=1

★(x＾2)＋(ｙ＾2)=2からxy=-(1/2)になるのが分かりません

x,yを２次方程式にｓるうと
x＋y=1
xy=-(1/2)
より
(t＾2)-t-(1/2)=0
両辺に２をかけて
2(t＾2)-t-(1/2)=0
2つの解を求めると
ｔ＝(1±√3)/2になりますが
★(x,y)で表すと
{(1±√3)/2 , 1マイナスプラス√3)/2}
になることが分かりません。

回答No.4

noname#40706 · ベストアンサー

Ａ３です

すみません　計算　間違いがありそうです。

x＾3)＋(y＾3)＋3xy-1=
＝（ｘ＋ｙ）＾３－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）＋３ｘｙ－１
これをｘｙでくくります。

すると、（ｘ＋ｙ）＾３－１－（ｘ＋ｙ－１）

となります

→
（ｘ＋ｙ）＾３－１－３ｘｙ（ｘ＋ｙ－１）

となります　　

ですか

この式の右にｘ＋ｙ－１

がありますので、

左の方も（ｘ＋ｙ－１）のかたちになればいいなあ・・・

と考えるわけです。

計算は自分でしてみてくださいね。

お礼

何度もすいません。
やっと理解できました。
どうもありがとうございます。

補足

解説ありがとうございます。
数Ｃはまだ分からないのでＢの範囲で教えて貰えたら嬉しいです。
2つの解を求めると
ｔ＝(1±√3)/2になりますが
(x,y)で表すと
{(1±√3)/2 , 1マイナスプラス√3)/2}
になるのが分かりません。
tはx＋yなので
x＋y=(1±√3)/2
どうして、xとyは符号が逆になるのでしょうか？

回答No.5

Tsukapi

数学Ｃの知識になってしまうけど、この問題の場合は
x=√2cosθ
y=√2sinθ
と置く事が出来ます。
というのもx^2+y^2=2よりこれが表す図形は半径√2、原点が中心の円だからです。
（これを説明するには三角関数の定義を考えてないといけませんが省略。）
実際にx,yをθを使って置き換えてもちゃんと上式が成り立つことがわかると思います。
これで変数が１つになるから、3倍角の公式などを使ってcosθかsinθにまとめます。
するとあっという間に答えが出てしまいます。

補足

数Ｃはまだ分からないのでＢの範囲で教えて貰えたら嬉しいです。
2つの解を求めると
ｔ＝(1±√3)/2になりますが
(x,y)で表すと
{(1±√3)/2 , 1マイナスプラス√3)/2}
になるのが分かりません。
tはx＋yなので
x＋y=(1±√3)/2
どうして、xとyは符号が逆になるのでしょうか？

回答No.3

noname#40706

いろいろ大変ですね（笑）

x＾3)＋(y＾3)＋3xy-1=0

こういう式、つまり、ｘとｙ　とが　「対等」なかたちの式を　対称式　というのではありませんか？

名前は別にして・・・・・

こんな式は　　ｘ＋ｙ　　とｘｙ　　を使って　式が変形できます。

（x＾3)＋(y＾3)＝
（ｘ＋ｙ）＾３－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）

です。

えーっ　こんなの無理！

ならば、（ｘ＋ｙ）＾３　を展開して、考えてみてください。

なぜこんな考えがでてきたかというと、「ｘ＋ｙであらわせる、」「３次式だ」の２つのキーワードです。

さて、すると、

最初の式は

(x＾3)＋(y＾3)＋3xy-1=
＝（ｘ＋ｙ）＾３－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）＋３ｘｙ－１
これをｘｙでくくります。

すると、（ｘ＋ｙ）＾３－１－（ｘ＋ｙ－１）

となります。

ここで、（ｘ＋ｙ）＾３－１＝（ｘ＋ｙ－１）×（・・・）

がでてきたら、うれしいのですが。

ここまでの計算がむずかしければ、

はじめに、ｘ＋ｙをＡ、ｘｙをＢ　とおいて　計算してください。

ｘ＋ｙ　ｘｙ　で表すなどというアイデア、自分で思いつく人、天才ですね。普通の人はこうして教わって覚えて使いこなせればいいのです。

ところで
＜（ｘ＋ｙ）＾３－３ｘｙ（ｘ＋ｙ）＋３ｘｙ－１
これをｘｙでくくります。＞

としましたが、（ｘ＋ｙ）でくくったら苦労しますよ。

ｘｙでくくる　ということは、上の式をｘｙの１次式と見たということです。

（ｘ＋ｙ）でくくったら、これは（ｘ＋ｙ）の３次式と見たということです。１次式と見ることができる式をわざわざ３次式で考えることはありません。

★(x＾2)＋(ｙ＾2)=2からxy=-(1/2)になるのが分かりません

（１）から、ｘ＋ｙ＝１　がでてきてますね。

すると、（ｘ＋ｙ）＾２＝１

ですから、　あとは、いけるのでは？

最後、

x,yを２次方程式にｓるうと
x＋y=1
xy=-(1/2)
より
(t＾2)-t-(1/2)=0
両辺に２をかけて
2(t＾2)-t-(1/2)=0
2つの解を求めると
ｔ＝(1±√3)/2になりますが・・・・

x,yが２つの解となるような、ｔの２次方程式が
ｔ＾２－・・・＝０　なのです。

ですから、この式を解いた答え、
ｔ＝（１＋√）と（１ー√）の２つがずばりｘとｙそのものなのですよ。

ごまかされた、あるいは　あれれ　という気がするかも知れません。一晩じっくり考えて見てくだされ。

なかなか疲れますね（苦笑）

回答No.2

tatsumi01

No. 1 のものですが、途中で送信を押してしまいました。

> ★(x＾2)＋(ｙ＾2)=2←はどのように現れたのでしょうか？

これは導く式ではなく、問題の仮定です。したがって、「なぜ」と聞くことは意味がありません。
恐らく
(x＾2)＋(y＾2)-xy＋x＋y＋1 = 0
に代入して
2-xy+x+y+1 = 0
を導くときに使うのでしょうが、実際にこの先をやってないから判りません。

回答No.1

tatsumi01

> (x＾3)＋(y＾3)＋3xy-1=0
> から
> ★(x＋y-1){(x＾2)＋(y＾2)-xy＋x＋y＋1}=0になることが分かりません。

公式を使ったんでしょう。
a^3 + b^3 + c^3 -3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)