因数分解

質問

解き方が分からないので教えて下さい。

(問題) 等式をみたす実数x,yの値を求めよ。

x^2+4xy+9y^2-2x+16y+21=0

(答え)

=x^2+2(2y-1)x+9y^2+16y+21　・・・(1)
=(x+2y-1)^2-(2y-1)^2+9y^2+16y+21　・・・(2)
=(x+2y-1)^2+5y^2+20y+20=(x+2y-1)^2+5(y+2)^2=0

x+2y-1=0
y+2=0

(x,y)=(5,-2)

となっているのですが、(1)から(2)への考え方が分かりません。
(2)(A^2-B^2)を計算すれば(1)になることが分かるのですが、(1)->(2)はどんな風に?考えた結果A^2-B^2になるのでしょうか。ここはA^2-B^2を使えばいけそうだ、とどこでわかるのでしょうか。また、(1)～(2)の間の計算方法も教えてほしいです。なんだか質問の意味が分からないかもしれないけどお願いします。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ｘの二次式と考えて平方完成しています。
ｘ＾２＋２ａｘ＋ｂ
を平方完成すると
（ｘ＋ａ）＾２－ａ＾２＋ｂ
となりますね。ａ＝２ｙ－１としてみると・・・？

お礼

ご回答ありがとうございます。基本を思い知りました。。勉強し直します。

回答No.3

bgm38489

答えは、整理の仕方の一つの方法であるので、答え通りに答えなくても（？）いいのです。
要は、この等式から、ｘとｙを含む２次の因数分解の形を何個か作ってみること。すると、（…）＾２の形が二つ生まれちゃって、それら全部を０にするためには…２元一次方程式ができる。
（１）から（２）への変形は、
x^2+2(2y-1)ときたから、+(2y-1)^2としてやれば、(X+2y-1)^2の形に持っていけるというだけ。それから、-(2y+1)^2してやれば、等式はなりたつ。
A^2-B^2を考えるのではなく、２乗の形にしたらこれが余分で、というだけ。後は、余り物を見ていけば、うまいこと整数倍の平方式となり、この両方が０になるためには、２元１次方程式二つができる。

お礼

ご回答ありがとうございます。A^2-B^2にこだわり過ぎていました。勉強し直します。

回答No.2

MagicianKuma

未知数が2つ(x,y)で式が一つです。普通なら答えがでないところですが、解ける場合があります。
全ての実数aについてa^2≧0です。a^2=0　なら　a=0しかありません。同じように考えて、a^2+b^2=0なら a=b=0しかあり得ません。
これを利用して、与式：x^2+4xy+9y^2-2x+16y+21=0 を (xとyの式)^2+(xとyの式)^2=0　の形に持って行きたいわけです。
で、ご質問の(1)から(2)ですが、xでまとめた項 x^2+2(2y-1)x　を(式)^2の形にしたいわけです。式をじっと見てみます。
x^2+2ax+a^2=(x+a)^2は因数分解の最初の頃に出てきた基本中の基本です。x^2+2(2y-1)x　と見比べてみれば、(2y-1)^2が足りませんね。
なので、x^2+2(2y-1)x＋(2y-1)^2 - (2y-1)^2 と同じ物を足して引くのです。すると(x+2y-1)^2 - (2y-1)^2 となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。大変丁寧にご回答頂きとてもわかりやすかったです。