三角錐の体積の求め方

質問

度々お世話になります。
三角形ABCの3頂点は1つの球の表面上にある。球の半径は2で、球の中心をOとすると、∠AOB = ∠BOC = 90°、∠COA = 60°である。
という問題で、添付した写真(上)のようなに私は書いて解いていましたが、四面体OABCの体積を求める際に、答えがあいませんよね？解答は添付写真(下)の図になっていました。
最初の問題文で、解説のような図を書かないと、計算式は合っているのに答えが違ってきます。
最初の問題文で、解説のような図を書くコツがあるのでしょうか。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

>写真(上)のようなに私は書いて解いていましたが、四面体OABCの体積を求める際に、答えがあいませんよね？
>解答は添付写真(下)の図になっていました。
>最初の問題文で、解説のような図を書かないと、計算式は合っているのに答えが違ってきます。
答えは計算式が合ってれば、どんな計算をしても同じ結果になります。
図を正しく描かないと誤った計算式を立てることになります。

添付図を参照ください。
写真の上側が添付図の左上側の図に対応し、写真下側が添付図の右下側の図に対応します。

体積の計算ば、底面積と高さをどう取るかで、簡単に求められるかが決まります。
それには、底面を下側に水平に置き、高さを垂直上方向になるように置いた方が、三角錐のイメージが直感的に
イメージし易いでしょう。それには質問者さんが書いた三角錐の置き方より、解答の置き方の方がいいでしょう。
添付図の左上側の置き方が質問者さんの置き方、右下側の置き方が解答の置き方です。
解答の置き方だと高さがそのままOB=2となります。それに底面が一辺2の正三角形となります。

三角錐の体積Vは
　V=(底面積)*(高さ)/3
で計算できます。

底面積を正三角形OAC（一辺の長さ=2）にとれば、高さOB=2となるので
最も簡単に体積計算ができます。
底面積は一辺の長さ2の正三角形OACの面積なので

　(底面積)＝(1/2)*2*2*√3/2＝√3

三角錐の高さOB＝2なので、三角錐の体積Vは

　V=(底面積)*(高さ)/3＝√3*2/3＝2√3/3 または 2/√3

>最初の問題文で、解説のような図を書くコツがあるのでしょうか。

どちらの添付図でも、体積計算で底面と高さをどうとるかが大切ですから、図は出来るだけ正確に画く必要があるでしょう。
どちらの図でも、座標軸の取り方を決め、頂点O,A,B,Cをどう配置するかを考えます。
それが決まったら、青色のような補助の円や半円や線分を描いて、Oを原点に取り、頂点A,B,Cを正確に取って、頂点を結んで四角錐のワイヤー・フレーム図を描けば良いです。図を描いたら、座標軸は消します。

そうすれば、より簡単に図が描けるでしょう。

お礼

添付頂きました図がとっても分かりやすかったです！
問題文の解説を見てもイメージが湧かなかったので
大変助かりましたので、ベストアンサーに選ばせて頂きました。

本当にありがとうございました‼

回答No.3

CC_T

あ、NO.2最後記入ミスです。
体積は√３／３ではなく、２√３／３ですね。

回答No.2

CC_T

上図で、６０°の∠COAを９０°相当に描いているから違って見えるのでしょう。
それ以外は特に問題があるとは思いません。
計算式は合っているのに答えが違うってのは、答えが間違っているのか、計算を間違っているのか。

ところで、私は問題文から添付のような絵を描きました。
まずは∠AOB = 90°ですから、地球の北極にＡがあって赤道上にＢがある状態をイメージしてＡ，Ｂを描き、∠COA = 60°からＣは北緯30度線上にあるな、とイメージ。
そして∠BOCも 90°だから、三角形AOCに対して辺BOは垂直になっている状態とわかり、更にAO=OC=球の半径で２辺の間の∠COA = 60°だから、三角形AOCは正三角形とわかる。

三角錐の底面である三角形AOCの面積は底辺２×高さ√３×1/2で√３。
これに三角錐の高さBCの２を掛け、更に三角錐だから３で割って、体積は√３／３と求まる。　

回答と違いますかね？

お礼

ご丁寧に図の書き方を教えて頂きましてありがとうございました。
答えはおっしゃるとおり、2√3/3です。

本当にありがとうございました。

回答No.1

asuncion

＞四面体OABCの体積を求める際に、答えがあいませんよね？

本当ですか？2つの図はお互いを鏡に映した状態になっているだけなので、
問題ないように見えます。

＞計算式は合っているのに答えが違ってきます。

状況がよくわからないので、計算式を書いてみていただけますか？

お礼

形は鏡に移したようなのですが、A,B,Cの位置が私はてっぺんからAとしましたが、解説はてっぺんがBでした。
それによって、底面積が変わってしまうから体積もダメなのかと…
AB = 2√2
BC = 2√2
AC = 2
cos∠ABC = 3/4
sin∠ABC = √7/4
△ABCの面積は√7
というところまでは正解していました。

私が三角錐の体積を求めたのは
底面△BOC×高さAO×1/3
でしたが、やはり私の図形の書き方が悪くてうまくイメージできていないのでしょうか…

お忙しいところ恐縮ですが
宜しくお願いします。