空間ベクトル

質問

四面体ＯＡＢＣにおいて、ＯＡ＝３，ＯＢ＝２，ＯＣ＝２
∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝６０°とする。辺ＯＡ上に点ＰをＯＰ：ＰＡ＝２：１となるようにとる。
また、点ＱをＯＱ↑＝（ＯＢ↑＋ＯＣ↑）/3によって定める。

(1)内積ＰＱ↑・ＢＯ↑、ＰＱ↑・ＯＣ↑の値を求めよ。
ＰＱ↑・ＢＯ↑＝１、ＰＱ↑・ＯＣ↑＝１

(2)
線分ＰＱの長さを求めよ。
(２√６)/3

(3)点Ｐを中心とし、半径√６/3の球面状を点Ｒが動く時、四面体ＢＣＱＲの体積の取りうる範囲を求めよ。

(1)(2)はあってますか？また、(3)を教えてください。

回答No.1

hatake333 · ベストアンサー

(1)は間違っています．
(3)を解くための必須条件なので，慎重に計算してください．
それでも，1になる場合は，計算過程も書き出してみてください．
間違い箇所を確認します．

(2)は正解です．

(3)は(1)の結果から，PQ⊥OQとなります．
また，四面体BCQRの体積は，
　　(1/3)*△QBC*高さ
で求まります．△QBCを求めるには
　　(OB↑ + OC↑)/3 = (2/3) * (OB↑ + OC↑)/2
と変形すれば分かるでしょう．
よって，高さの最小，最大が，体積の最小，最大になります．
点Rが点Pを中心とする半径√(6)/3の球面上の点より，
　　|OR↑ - OP↑| = √(6)/3
PQ⊥OQ のと併せて考えれば，
高さは，Rが直線PQ上にあるときに最小，最大をとることが分かります．
あとは，計算するだけです．