高校数学の空間ベクトルについて

質問

四面体OABC. OA=3,OB=2,OC=2, OA=a→,OB=b→,OC=c→ とする。
また、∠AOB=∠BOC=∠COA=60°とする。
AB上を3:2に内分する点をDとする。
(1) このときのcos∠DOCのΘを求めよ。
(2) OD→、AC→のなす角をΘとするとき、cosΘの値を求めよ。

この2点の求め方を教えてください。
(1)の答えは3√7/14です。(2)は忘れてしまいました。
見にくい点などあれば、ご指摘お願いします。

回答No.5

yyssaa

＞質問には「(1)の答えは3√7/14です。」と書かれているが、
質問が正しければ答えは3√7/14にはならない。
もし、答えの3√7/14が正しいなら、質問に誤りがある。
確認して、結果を補足に書くか、再質問してはどうですか？

回答No.4

yyssaa

No.1です。(2)を回答します。
(2) OD→、AC→のなす角をΘとするとき、cosΘの値を求めよ。
↑AC=↑OC-↑OA=↑c-↑a、
|↑AC|^2=(↑c-↑a)・(↑c-↑a)=↑c・↑c-2(↑c・↑a)+↑a・↑a
=4-2*2*3*(1/2)+9=7、|↑AC|=√7
↑OD=(2/5)↑a+(3/5)↑bだから
↑OD・↑AC={(2/5)↑a+(3/5)↑b}・{↑c-↑a}
=(2/5)↑a・↑c-(2/5)↑a・↑a+(3/5)↑b・↑c-(3/5)↑b・↑a
=(2/5)|↑a|*|↑c|cos∠COA-(2/5)|↑a|^2+(3/5)|↑b|*|↑c|cos∠BOC-(3/5)|↑b|*|↑a|cos∠AOB
=(2/5)*3*2*(1/2)-(2/5)*9+(3/5)*2*2*(1/2)-(3/5)*2*3*(1/2)
=(6/5)-(18/5)+(6/5)-(9/5)=-15/5=-3
↑OD・↑AC=|↑OD|*|↑AC|cosΘだから
cosΘ=(↑OD・↑AC)/(|↑OD|*|↑AC|)=-3/{(6√3/5)*(√7)}=-5√21/42≒-0.5455
三角関数表を使えば
Θ=arccos(-5√21/42)≒123°・・・答

回答No.3

noname#232123

1) cos∠DOC=1/√3.
2) 矢印は省略し、内積は<a, b>と書くことにします。
OD=(2/5)a+(3/5)b, |OD|=(6/5)√3, |AC|=√7, <a, b>=3, <b, c>=2, <c, a>=3 などを使います。
<OD, AC>=<(2/5)a+(3/5)b, c-a>=(2/5)*3 - (2/5)*9+(3/5)*2 - (3/5)*3=-3,
また、<OD, AC>=|OD|*|AC|*cos∠Θ=(6/5)√3*√7 ですから、
cosΘ=-3/{(6/5)√21}=-5/(6√21)
となりこの結果、Θは鈍角です。
(「ベクトルOD, AC のなす角」となっていますのでこのまま答えます。）

回答No.2

noname#215361

a→・b→=3*2*cos60°=3、b→・c→=2*2*cos60°=2、c→・a→=2*3*cos60°=3

(1)
「cos∠DOCのΘ」は、「OD→、OC→のなす角をΘとするときのcosΘの値」だと解釈しますので、誤っていたら補足してください。

△OABにおいて、余弦定理から、
AB^2=3^2+2^2-2*3*2*cos60°=9+4-6=7⇒AB=√7⇒AD=3√7/5
2^2=3^2+（√7）^2-2*3*√7*cos∠OAB⇒cos∠OAB=2√7/7
△OADにおいて、余弦定理から、
OD^2=3^2+（3√7/5）^2-2*3*3√7/5*cos∠OAD（∠OAB）=108/25⇒OD=6√3/5
OD→=a→+3AB→/5=a→+3（b→-a→）/5=（2a→+3b→）/5
OD→・OC→=（2a→+3b→）/5・c→=（2a→・c→+3b→・ｃ→）/5=（6+6）/5=12/5
よって、次の関係が成り立つ
6√3/5*2*cosΘ=12/5⇒cosΘ=√3/3

(2)
AC=AB=√7（△OAC≡△OAB）
AC→=c→-a→
OD→・AC→
=（2a→+3b→）/5・（c→-a→）
=（2a→・c→-2a→・a→+3b→・c→-3b→・a→）/5
=（6-18+6-9）/5
=-15/5
=-3
よって、次の関係が成り立つ
6√3/5*√7*cosΘ=-3⇒cosΘ=-5√21/42

回答No.1

yyssaa

取り敢えず(1)について
＞ベクトルを↑、内積を↑・↑で表して、
↑OD=↑OA+(3/5)↑AB=↑OA+(3/5)(↑OB-↑OA)
=(2/5)↑a+(3/5)↑b
|↑OD|^2=↑OD・↑OD={(2/5)↑a+(3/5)↑b}・{(2/5)↑a+(3/5)↑b}
=(2/5)^2|↑a|^2+2*(2/5)*(3/5)↑a・↑b+(3/5)^2|↑b|^2
=(4/25)*9+(12/25)|↑a|*|↑b|cos∠AOB+(9/25)*4
=(4/25)*9+(12/25)*3*2*(1/2)+(9/25)*4=108/25
|↑OD|=√(108/25)=6√3/5・・・・・(1)
↑OC・↑OD=↑c・{(2/5)↑a+(3/5)↑b}
=(2/5)↑c・↑a+(3/5)↑c・↑b
=(2/5)|↑c|*|↑a|cos∠COA+(3/5)|↑c|*|↑b|cos∠BOC
=(2/5)*2*3*(1/2)+(3/5)*2*2*(1/2)=12/5・・・・・(2)
↑OC・↑OD=|↑OC|*|↑OD|cos∠DOCだから(1)(2)より
cos∠DOC=(↑OC・↑OD)/(|↑OC|*|↑OD|)=(12/5)/{(2)*(6√3/5)}
=1/√3=√3/3・・・答