数学 空間ベクトルについて

質問

数学 空間ベクトルの問題について

四面体OABCは OA=４ OB=5 OC＝３ ∠AOB＝90度、∠AOC＝∠BOC＝６０度を満たしている。

(1)点Cから三角形OABに下ろした垂線と、三角形OABとの交点をHとする。
ベクトルCHをベクトルOA、ベクトルOB、ベクトルOCを用いてあらわせ。

(2)四面体OABCの体積を求めよ。

この二問なのですが解き方と解答がわからず困ってます。
なので途中式と解答をお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
CH↑=sOA↑+tOB↑+uOC↑ ...(A)
とおくとCH↑⊥平面OABより
CH↑・OA↑=sOA^2+uOA*OCcos60°=16s+6u=0 ...(B)
CH↑・OB↑=t0B^2+uOB*OCcos60°=25t+15u/2=0 ...(C)
OC↑+CH↑=OH↑=(a,b,0)とおくと
a=b=OCcos60°=3/2

OC↑=(a,b,c)とおくと
3^2=a^2+b^2+c^2
c=√(9-(3/2)^2-(3/2)^2)=3√2/2

CH↑=sOA↑+tOB↑+uOC↑より
　z成分：-c=uc ∴u=-1
(B),(C)より　s=3/8, t=3/10
(A)より
　CH↑=(3/8)OA↑+(3/10)OB↑-OC↑

(2)
四面体OABCの体積V
=△OAB*CH/3=(1/2)OA*OB*CH/3=(1/2)4*5*(3√2/2)/3
=5√2

お礼

ありがとうございました。
解答、途中式ともに完璧でした。

今回は一番解答が早かったのでinfo22さんがベストアンサーにしました。
ですがyyssaaさんも解答ありがとうございました。

回答No.2

yyssaa

ベクトルを↑、内積を↑・↑で表します。
(1)
＞
↑CH=↑OH-↑OC、s,tを実数として↑OH=s↑OA+t↑OBとおくと、
↑CH=s↑OA+t↑OB-↑OC、↑CH・s↑OA=0かつ↑CH・t↑OB=0だから
↑CH・s↑OA=(s↑OA+t↑OB-↑OC)・s↑OA=s^2|↑OA|^2-s↑OC・↑OA
=16s^2-s|↑OC|*|↑OA|cos60°=16s^2-12s/2=16s^2-6s=0からs=3/8
↑CH・t↑OB=(s↑OA+t↑OB-↑OC)・t↑OB=t^2|↑OB|^2-t↑OC・↑OB
=25t^2-t|↑OC|*|↑OB|cos60°=25t^2-15t/2=0からt=3/10
よって、↑CH=(3/8)↑OA+(3/10)↑OB-↑OC・・・答
(2)
＞|↑CH|^2=↑CH・↑CH
={(3/8)↑OA+(3/10)↑OB-↑OC}・{(3/8)↑OA+(3/10)↑OB-↑OC}
=(3/8)^2|↑OA|^2+(3/10)^2|↑OB|^2+|↑OC|^2
-2*(3/8)↑OA・↑OC-2*(3/10)↑OB・↑OC
=16*(3/8)^2+25*(3/10)^2+9-2*(3/8)*12/2-2*(3/10)*15/2=9/2
△OABの面積=4*5/2=10
よって、四面体OABCの体積=(1/3)*10*√(9/2)=5√2・・・答

お礼

ありがとうございました。
回答、途中式ともに完璧でした。