外心と内心が一致する四面体について

質問

タイトルにあるように四面体ABCDにおいて、外心Oと内心Iが一致しているとします。
そのような四面体の４つの面の外接円の半径は等しいということを証明してください。
また、四面体ABCDはどのような四面体か（等面四面体か直辺四面体か三直角四面体か正四面体か．．．）ということを教えてください（答えるにあたって途中経過も）。

備考：
等面四面体　　…３組の向かい合う辺の長さはすべて等しい。つまり４つの面はすべて合同。
直辺四面体　　…３組の向かい合う辺がすべて垂直である。
三直角四面体 …一つの頂点に三つの直角の面が集まっている。
　　　　　　　　　　 つまり四面体OABCにおいて∠BOC＝∠COA＝∠AOB＝90°

回答No.1

noname#158987 · ベストアンサー

厳密性は自分で高めてください。
イメージだけ書いときます。

（前半）
外接円を真横から見る。
外接円ののっている面に対して平行に見るといったほうがいいでしょうかね。
そうすると、内接球の半径(rとします。)と外接球の半径（Ｒとします。)のそれぞれに注目してください。
外接円の半径は√（R^2-r^2)で表される。

もっと直感的なイメージで言うと、外接球を包丁で切るときにその断面である円の大きさは、
その断面の中心からの距離できまる。
今の場合は、内接球の半径がそのきょりである。

（後半）
答え：等面四面体
四面体の展開図を描いて、それぞれの外心から三角形の頂点に向けて線分を引き、
角度をa～ｆと名づける。
四面体なので、三角形は４つ出てくるけれども、６つでたりる。
接している辺同士の角は等しい。
なぜなら、外接円の半径の長さを持つ二等辺三角形で残りの辺は共有という条件なので。
それぞれの面のなかで二等辺三角形が３つずつでき、
その二等辺三角形の頂角を足すと３６０度になることに注目すると、
a+b+c=360
b+d+f=360
a+d+e=360
c+e+f=360
ここから、a+b+c+d+e+f=720となる。
a+b+c=360より、d+e+f=360
もとの式と見比べると、
a=f,
b=e,
c=d
がもとまる。
それぞれの頂角にこの条件を書き込むと、
四面体の面それぞれが共通の長さの辺(L1,L2,L3)をもつことが分かる。
よって合同のめんが４つなので、等面四面体

お礼

ご回答ありがとうございます。

すごくよくわかりました。助かりましたε-(´∀｀*)

回答No.3

noname#158987

前半の図も描いときます。
（いや、ちょっとお絵かき添付に慣れたかっただけなんですけどね・・・。）

回答No.2

noname#158987

後半の図かいてみます。
すげー汚いけど、こんな感じで書き込んでって、
最初の回答に書いた式で求めていけばいいんじゃないでしょうか？