球の体積

質問

1辺の長さが12,体積が144√2の正四面体があり、
四面すべてに接する球の半径と体積を求めよ。
という問題なんですが、
一応答えは出たんですがあっているかわかりません教えてください。
半径：4√6/3 体積：512√6/27
お願いします。

回答No.2

ccyuki · ベストアンサー

方法は色々ありますが体積が出ているので利用してみます
球の半径をrとすると　
元の正四面体の体積は
正三角形を底面とし高さをrとする　同じ４つの四面体の体積の和と等しくなります。
　正三角形の面積は　12×12×sin60°÷2＝36√3　ですから
体積　144√2＝36√3×r÷3×4　　よって　r＝√6
体積は　（4/3）πr^3=8√6π

お礼

なるほど、そういう風に考えるんですね。
感謝いたします、ありがとうございました。。

回答No.1

santye

えと、まずはじめに内接球ということでいいんですよね。

考え方としては、正四面体なのですから内接球の中心から各面におろした垂線の足の長さはこの球の半径になります。
次に中心から、四面体の角にむかって線をひくと、四面体の体積を４分割した三角錐が得られます。
この三角錐の体積は底面（四面体のひとつの面の面積）＊高さ（球の半径）＊1/3であり、四面体の体積はこの三角錐の体積の４倍に等しい。（図をかいて考えてください。）
ここから球の半径が得られます。
あとは球の体積の公式に当てはめましょう。
するとπが出てきませんかね？確か球の体積は (4/3)πr^3なので。

お礼

くわしくありがとうございました。
図など描いてみるとわかりやすくなりました。
感謝いたします。