東京大学入試問題

質問

2012年理系数学第6問
（著作権上の問題がありますので掲載できません。
すいませんが、ご確認できる方のなかでご回答いただけますと助かります）
の（２）においいて

証明の途中でcos(^2)xを|cosx|^2と置き換えます。
これの理由がわかりません。

一般的に変換可能ですか？（無理ですよね）
それとも、問題特別の流れにおいて？
（cos(^2)xを|cosx|の関数だと考えるのだそうです）
よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

「cos(^2)x」というのは、cos の右肩に小さく 2 と書いてある
ということですよね？ それは、(cos x)^2 という意味の式です。
ですから、a = cos x と置き換えてしまえば、質問は
a^2 = |a|^2 は常に成り立つか？と訊いていることになります。
実数 a について、|a| の値は、a の符号により ±a のどちらか
なので、どちらの場合にせよ、a^2 = |a|^2 は成り立っています。

|a|^2 + |a| = |a|(|a| + 1) については、あまり思弁的にならず、
普通に式変形を行えばよいでしょう。数Iないし中学校の範囲です。
＞　くくりだした|x|が単独で機能することに納得できなかったのですが、
＞　くくりだしをしても、くくりだした|x|と括弧のなかの|x|は関連性を
＞　保っている（つまり、いずれは乗算される運命にある）ために
等の考察は、考え過ぎているというか、考えてはいけないことを考えている
感じがします。何をどう説明しても、x = |x| になる訳ではないしね。
あるいは、更に |a| = b で一旦置き換えれば、
b^2 + b = b(b + 1) には疑問の余地はないだろうと思います。

回答No.3

Dr-Field

cosXに限らず、一般に任意の実数xについて、x^2＝|x|^2です。だから、両辺を|x|で割ればその答えは|x|となります。仮にｘが負であったとしても、絶対値を採用することによって解が正の数となることが担保されます。

具体例
|-3|^2＝(-3)^2について、両辺を|-3|で割る。
左辺＝|-3|^2÷|-3|＝|-3|＝3
右辺＝(-3)^2÷|-3|＝9÷|-3|＝3

お礼

上の補足について補足です。

とりあえず、この変換が正しそうなことがわかりました。
一部をグラフと手計算で確認しました。

>x^2 + |x| = A　→　|x|^2 + |x| = A　→　|x|(|x| + 1) = A

この式において
|x|(|x|+1)=Aのくくりだした|x|が
単独で機能することに納得できなかったのですが、

くくりだしをしても、くくりだした|x|と括弧のなかの|x|は関連性を
保っている（つまり、いずれは乗算される運命にある）ために
結局はx=|x|と扱えるということなのかなと理解しました
（おそらく理解できないほど解りにくいかとは思いますが、
書きなぐりです。すいません）

（そしてくくりだしはDr-Fieldさんの回答の除算操作ということです）

補足

回答ありがとうございます。
まだわかったようなわからないようなかんじです。

>一般に任意の実数xについて、x^2＝|x|^2です。
これはわかります。

>だから、両辺を|x|で割ればその答えは|x|となります。
これはどういうことでしょうか。

x^2 = |x|^2　⇒　x = |x|ということでしょうか。
でもこれでは意味が解らないです。
関数y=x^2において、xの変域が常に正？

実際の問題では、

x^2 + |x| = A　→　|x|^2 + |x| = A　→　|x|(|x| + 1) = A

このような変換（同じではないです）をおこなっています。

回答No.2

hantk

？？

別にそんなことしなくても解けます。というか（2）は全部ｔの式なのにxが出てくるんですか?

質問への解答ですが、せめて何の解答を見ているのかを明示しないと答えようがありません。

いくつか見当はつきますが憶測の域を出ません。

回答No.1

spring135

＞著作権上の問題がありますので掲載できません。

これでは回答できません。