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数学の問題
αは0≦α≦πを満たす実数の定数とする。関数 f(x)=cosx+cos(x+α)+cos(x+2α)が任意のxに対して一定の値cを取るときcとαを求める問題なのですがどのようにやればいいのでしょうか?
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どんなxを代入してもf(x)=cになるんだから、 例えばx=0を代入して f(0) = cos(0)+cos(α)+cos(2α) = c 1+cos(α)+cos(2α) = c 例えばx=πを代入して f(π) = cos(π)+cos(π+α)+cos(π+2α) = c -1-cos(α)-cos(2α) = c これらを合わせて 1+cos(α)+cos(2α) = -1-cos(α)-cos(2α) 倍角の公式よりcos(2α)=2(cos(α))^2-1を代入して整理すればcos(α)についての2次方程式になる。 それを解けばαが分かる、αが分かればcもわかる。
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- alice_44
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三角関数について覚えておくべきことは、 加法定理だけです。 f(x)= の右辺を加法定理を使って展開し、 cos x と sin x の係数が共に 0 になるように α を決めればよい。
- f272
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微分してf'(x)=-sin(x)-sin(x+α)-sin(x+2α)=0からやるのが簡単だと思う。 第1項と第3項をまとめて 2sin(x+α)cos(α)+sin(x+α)=0 これからcos(α)=-1/2
- info22_
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和積公式で展開した式のsin(x)の係数およびcoa(x)の係数が同時にゼロになるようなαを求めれば、xに関せずf(x)が一定の値をとります。 sin(x)の係数がゼロから sin(α)+sin(2α)=0 cos(x)の係数がゼロから 1+cos(α)+cos(2α)=0 これらの2つの式を満たす0≦α≦πを満たすαを単位円を使って求めれば良い。 その結果、α=2π/3[rad]が求まる。