数学の問題で分からないとこがあります。

質問

数学の課題で分からないとこがあります。

関数y=cos2x+cosx+3がある。ただし、0≦x≦πとする。

(1)x=π/2の時、yの値を求めよ。また、yをcosxの式で表せ。

(2)yの最小値を求めよ。また、yが最小となるときのxの値に対してsin2xの値を求めよ。

分かる方いらっしゃいましたら教えてください！途中式などもあると助かります。お時間とらせるようで申し訳ございません。

回答No.4

noname#227255

個人的な感想として、この問題を2次関数としてとらえると、三角関数の微分や増減の判断に応用が利かなくなることが懸念されるので、三角関数としてとらえます。

(1)
x=π/2のとき、y=cos(π)+cos(π/2)+3=-1+0+3=2
y
=cos(2x)+cos(x)+3
={cos(x)}^2-{sin(x)}^2+cos(x)+3
={cos(x)}^2-[1-{cos(x)}^2]+cos(x)+3
=2{cos(x)}^2+cos(x)+2

(2)
(1)から、
y'=-4*sin(x)*cos(x)-sin(x)=-sin(x){4cos(x)+1}
0≦x≦πの範囲において、-sin(x)≦0
また、0≦x≦πの範囲において、4cos(x)+1は、xの増加に伴って単調減少するので、
4cos(x)+1=0つまりcos(x)=-1/4を満たすxの値をθとすると、
0≦x＜θのとき、4cos(x)+1＞0であるから、y'≦0
θ＜x≦πのとき、4cos(x)+1＜0であるから、y'≧0
よって、cos(x)=-1/4のとき、yは最小値をとり、このとき、
y=2*(-1/4)^2-1/4+2=15/8

y=cos(2x)+cos(x)+3から、
cos(2x)=y-cos(x)-3=15/8+1/4-3=-7/8
ここで、0≦x≦πの範囲において、cos(x)=-1/4であるから、π/2＜x＜π
さらに、cos(2x)=-7/8であるから、π＜2x＜3π/2
{sin(2x)}^2=1-{cos(2x)}^2=1-(-7/8)^2=15/64→sin(2x)=-√15/8（π＜2x＜3π/2）

回答No.3

asuncion

おっと。約分し忘れた。
sin(2x) = 2・(√15 / 4)・(-1 / 4) = -2√15 / 16 = -√15 / 8

回答No.2

asuncion

(1)
y = cos(2x) + cos(x) + 3 に、x = π/2を代入する。
cos(π) + cos(π/2) + 3
= -1 + 0 + 3
= 2

cos(2x) = cos(x + x) = cos(x)cos(x) - sin(x)sin(x) = cos^2(x) - sin^2(x)
= cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1 より、
y = 2cos^2(x) - 1 + cos(x) + 3 = 2cos^2(x) + cos(x) + 2

(2)
y = 2cos^2(x) + cos(x) + 2
cos(x) = t とおく。
y = 2t^2 + t + 2 = 2(t^2 + t/2) + 2 = 2(t + 1/4)^2 - 1/8 + 2 = 2(t + 1/4)^2 + 15/8 と平方完成できるから、
t = cos(x) = -1/4のとき、yの最小値は15/8
sin(2x) = sin(x + x) = sin(x)cos(x) + cos(x)sin(x) = 2sin(x)cos(x)
0 ≦ x ≦ πでcos(x) = -1/4だから、sin(x) = √15 / 4
よって、sin(2x) = 2・(√15 / 4)・(-1 / 4) = -2√15 / 16

回答No.1

noname#232123

y=cos(2x)+cos(x)+3. とします。
この式をみたらすぐに、「２次関数の問題である」ことがわかるよう練習してください。
cos(x)=Xとおくと、
y=2X^2+X+2, (-1≦X≦1) です。
平方完成し、頂点を求めてください。２次関数のグラフを書きＸの変域に注意してｙの最小値を決定してください。
また、sin(2x)=2*sin(x)*cos(x) です。