数学の大学入試問題

質問

数学の大学入試問題です。解いてください。

曲線Ｃは媒介変数θ(０≦θ≦π／２)を用いて
ｘ＝ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ、 ｙ＝ｃｏｓθ
で定義されている。

(１)曲線Ｃの概形をかけ。
(２)曲線Ｃとｘ軸および直線ｘ＝１で

囲まれる図形の面積を求めよ。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
添付図参照

(2)
S=∫[0,1] (x-1) dy
=∫[π/2,0] (cosθ＋θsinθ-1)(dy/dθ)dθ
=∫[π/2,0] (cosθ＋θsinθ-1)(-sinθ)dθ
=∫[0,π/2] (sinθcosθ＋θsin^2θ-sinθ)dθ
=∫[0,π/2] {(1/2)sin(2θ)＋(θ/2)(1-cos(2θ))-sinθ} dθ
=(1/2)∫[0,π/2] {sin(2θ)＋θ-θcos(2θ)-2sinθ} dθ
=(1/2)[-(1/2)cos(2θ)+(1/2)θ^2-(1/4)cos(2θ)-(θ/2)sin(2θ)+2cosθ] [0,π/2]
=(1/2)[-(3/4)cos(2θ)+(1/2)θ^2-(θ/2)sin(2θ)+2cosθ] [0,π/2]
=(1/2)[(3/2)+(π^2)/8 -2]
=(π^2 -4)/16

お礼

ありがとうございます

回答No.3

ereserve67

ANo.1です．求めた面積から最後に1を引いておいてください（図）．後の回答者様が正しく計算されています．

お礼

ありがとうございます

回答No.1

ereserve67

(1)図

(2)

∫_0^1xdy=∫_{π/2}^0x(θ)(dy/dθ)dθ=∫_{π/2}^0(cosθ+θsinθ)(-sinθ)dθ

=∫0^{π/2}(sinθcosθ+θsin^2(θ)dθ

=∫0^{π/2}{(1/2)sin2θ+(1/2)θ(1-cos2θ)}dθ

=(1/2)∫_0^{π/2}(sin2θ+θ-θcos2θ)dθ

=(1/2)[-(1/2)cos2θ+θ^2/2]_0^{π/2}-(1/2)∫_0^{π/2}θcos2θdθ

=(1/2)[1/2+π^2/8+1/2]-(1/2){[θsin2θ/2]_0^{π/2}-∫_0^{π/2}(sin2θ/2)dθ}

=(1/2)[1+π^2/8]-(1/2)[cos2θ/4]_0^{π/2}

=(1/2)[1+π^2/8]-(1/2)[-1/4-1/4]

=(1/2)(3/2+π^2/8)

=3/4+π^2/16

お礼

ありがとうございます