Σ[k=0,n](x^k)/(k!)

質問

Σ[k=0,n](x^k)/(k!)は簡単にできますか？

回答No.5

ereserve67 · ベストアンサー

ANo.3です．補足について．

>Σ[k=0,n](x^k)/(k!)が他の形に書き換えられないのかが知りたいです。

べき級数の形でならもう書き換えようがありません．別の形なら一体どういう形かと言うことを指定しないといけないですが，私の知る限り，この形が最もきれいな形だと思います．

>また、lim_{n→∞}(1+1/n)^nが（別の方法で定義した）eと一致するのはなぜですか？

eの定義は（数学の教科書なのでは）この数列を用いた定義を出発することが多いと思います．別の方法では関数の極限

e=lim_{h→0}(1+h)^{1/h}

がありますが，これは数列の定義から導くことができます．指数関数a^xで，

da^x/dx=a^x

となるような底aの値をeとする定義もあります．この定義が数列の定義と一致することも証明できます．あるいはまた，

e=Σ_{k=0}^∞1/k!

という定義（これを解析的定義と呼びましょう）があります．これももちろん数列の定義と一致します．

このように様々なeの定義が一致することは微積分の教科書に詳しく載っています．この回答欄で記述するよりも，そのような本をじっくり見た方がいいと思います．円周率πなどと同様，一つの定数に何通りもの計算法があるのはそれだけ理論的にも実用的にも重要でたくさん研究されているからです．

ここでは，私が挙げた多項式

e_n(x)=(1+x/n)^n

がなぜ解析関数

e^x=lim_{n→∞}Σ_{k=0}^nx^k/k!

に収束するかだけおおざっぱに（厳密ではない）説明しておきましょう．

de_n(x)/dx=n(1+x/n)^{n-1}(1/n)=(1+x/n)^{n-1}

=(1+{n/(n-1)}x/n)^n=e_n({n/(n-1)}x)^n

n≫1のとき{n/(n-1)}x≒xであるから

de_n(x)/x≒e_n(x)（e_n(x)の連続性）

n→∞のときe_n(x)→e(x)とすると

de(x)/dx=e(x)

e_n(0)=1よりe(0)=1．ゆえに微分方程式の解の一意性により

（☆）e(x)=e^x（解析的なe^xということを強調するときexp(x)とも書きます）

※y(0)=1とdy/dx=yを満たすyは解析関数e^x=Σ_{n=0}^∞x^n/n!であることを用いました．

これを使うと，eの数列的定義と解析的定義が一致することが次のようにわかります．

☆は詳しくは

lim_{n→∞}(1+x/n)^n=lim_{n→∞}Σ_{k=0}^nx^k/k!

ということですから，ここでx=1とすれば

lim_{n→∞}(1+1/n)^n=lim_{n→∞}Σ_{k=0}^n1/k!

となります．

回答No.4

alice_44

A No.2 への「お礼」欄のようにしたいのであれば、
f(n,x) = e^x - Σ[k=1…n](x^k)/k!
または、同じことですが、
f(n,x) = Σ[k=n+1…∞](x^k)/k!
と置けば、お望みどおり
Σ[k=1…n](x^k)/k! = e^x - f(n,x)
かつ lim[n→∞] f(n,x) = 0
とはなります。
f の中身があまり「簡単」ではないので、
式が簡単になったような気はしませんが…

回答No.3

ereserve67

e^xの近似多項式を知りたいのですか．だったら掲載のものが有名（Taylor展開，べき級数展開等という）で実用的でもあります．これは収束が速いです．

(1)e^x=lim_{n→∞}Σ_{k=0}^nx^k/k!

もう一つ有名なものがあり，これは高校数学でも理解できるでしょう．ただし，収束は遅いです．

(2)e^x=lim_{n→∞}(1+x/n)^n

赤：y=e^x
青：y=(1)のn=7
緑：y=(2)のn=7

を図に示しておきます．-2<xでは赤と青にほとんど重なっています．(2)よりも(1)の方がx=0のまわりでの近似の程度がよいことがわかるでしょう．

補足

Σ[k=0,n](x^k)/(k!)が他の形に書き換えられないのかが知りたいです。
また、lim_{n→∞}(1+1/n)^nが（別の方法で定義した）eと一致するのはなぜですか？

回答No.2

spring135

lim(n→∞)Σ[k=0,n](x^k)/(k!)exp(x)=e^x

補足

マクローリン展開というのでそうなるとは聞いたことがあります（まだ高校生なのでよくわかりませんが）。
では、極限を考えない時の式は
e^x-f(n)ただしlim(n→∞)f(n)=0
とか
(e^x)/f(n)ただしlim(n→∞)=1
という風にはできないものなのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

できません.

補足

どうしてですか？