Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では一様収束しない

質問

こんにちは。

[問]Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)が任意のa>0に対して[a,∞)で一様収束するが(0,∞)では
一様収束しない事を証明せよ。

が示せません。

一様収束の定義は
0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=1..∞]1/k^(1+x)-Σ[k=1..n]1/k^(1+x)|≦ε)
です。

"p>1の時Σ[n=1..∞]1/n^pは収束,p<1の時発散"より
0<b<cに於いてΣ[k=1..n]1/k^(1+c)<Σ[k=1..n]1/k^(1+b)だから
Σ[k=1..∞]1/k^(1+c)<Σ[k=1..∞]1/k^(1+b)

とまで分かったのですがこれからどのようにして証明して分かりません。
どうぞご教示ください。

回答No.2

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。♯１さんが指摘しているようにワイエルストラスの優級数の定理と一様収束の別の定義

0<∀ε∈R,∃L∈N;(L<m<n,x∈[a,∞)⇒|Σ[k=m+1..n]1/k^(1+x)|≦ε)

はご存知ですか？この事柄を使えば

（１）[a,∞) で一様収束すること
∀x∈[a,∞) に対して 1/k^{1+x}≦1/k^{1+a} かつ
Σ[k=1…∞]1/k^{1+a} は収束するからワイエルストラスの優級数の定理より　Σ[k=1…∞]1/k^{1+x}　は[a,∞) で一様収束する。

（２）(0,∞) で一様収束しないこと
(0,∞) で一様収束すると仮定する。∀ε>0 に対して十分大なる自然数Ｎが存在するが、xとしてN<n なる任意のｎに対して

x < (log(n/ε)/log2n)-1

となるようにxを選べば

Σ[k=n…2n]1/k^{1+x} > n/(2n)^{1+x} > ε

となり矛盾となる。したがって (0,∞) で一様収束しない。

お礼

> はご存知ですか？

知りませんでした。是非とも憶えて置きます。

> （１）[a,∞) で一様収束すること
> ∀x∈[a,∞) に対して 1/k^{1+x}≦1/k^{1+a} かつ
：
> となり矛盾となる。したがって (0,∞) で一様収束しない。

有難うございます。無事解けました。m(＿ ＿)m

回答No.1

kabaokaba

>とまで分かったのですがこれからどのようにして証明して分かりません。

この方針では解けません．せっかく
>0<b<cに於いてΣ[k=1..n]1/k^(1+c)<Σ[k=1..n]1/k^(1+b)だから
に気がついてるなら
Wierstrassの優級数法を使えばよいのです．

一様収束しない方は，一様収束すると矛盾がでるとか，
「一様収束ではない」ことの定義を明確にしてそれを証明するかです．

お礼

ご説明有難うございます。Wierstrassの優級数法で無事解けました。m(＿ ＿)m