x^n (1/xを含む)の微積分の求め方

質問

x^n(1/xを含む)の微積分の求め方で、1/xだけexpを使って積分しこれだけlog(x)となりますが、共通的にならないか・・・ということで、すべてexpで置換たらいいのではということで考えました。おおむね下記のような考えで丈夫でしょうか？
頭のリフレッシュということで30年ぶりに数学を再勉強中です。よろしくおねがいします。

A) x^n積分

x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので

∫1/x^n dx = ∫(1/exp(k)) dexp (k/n)/dk dk
= ∫exp(-k)exp(k/n)/n dk = ∫exp(k(1-n)/n)/n dk

ここで n=1 の場合は

∫(log(1),log(x)) exp(0)/n dk = ∫(0,log(x)) dk = log(x)

∫1/x dx = log(x)

n=1 以外の場合は

= (1/(1-n)) exp(k(1-n)/n) = (1/(1-n))exp((1-n)log(x))
= -(1/(n-1)) exp(-(n-1)log(x)) = -(1/(n-1)) exp(-log(x^(n-1)))

∫1/x^n dx = -(1/(n-1)) (1/x^(n-1))

n=-nと置換えると

∫x^n dx = (1/ (n+1)) x^(n+1)

B) 微分も同じように

x^n=exp(k) と置換 x=exp(k/n), k=log(x^n)=nlog(x) なので

dx^n/dx = dexp(k) /dx = (dexp(k) /dk)(dk/dx) = exp(k) dlog(x^n)/dx = exp(k) n dlog(x)/dx = exp(k) n (1/x)

x^n=exp(k) なので

= n x^n /x^-1 = nx^(n-1)

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

あんまり質問らしく見えませんが、お楽しみのようですね。

> おおむね下記のような考えで丈夫でしょうか？

「おおむね」と仰るのが「xが正の実数」という意味であれば、「丈夫」でしょう。大丈夫にするためにはx≦0の場合やxが複素数の場合についても、さらには、nが複素数である場合等も含めて考察なさると宜しいかと思います。

お礼

回答ありがとうございます。 複素数もあったんですね、おいおいと考えてみます。 ところで、これ、質問する前にインターネットでもOKかどうか調べてみましたがどうもこの置換えは数学的には書き下すほどのものではないようで（数学的には常識的な事だろうと推測）探しきれませんでした。
という訳でどうも丸投げ的な質問になって申し訳なかったですが、一応正の実数ではOKということで回答いただいたのでよかったです。