x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

質問

x[k]>0 (k=1,2,…,n)とする。

このとき、
x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

と予想しましたが、証明できるのでしょうか?

また、
x[1] + x[2] + … + x[n] = 1　とすると、x[1]・x[2]・…・x[n] に関する何らかの不等式はあるのでしょうか？

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

そのまま相加相乗平均ですね。

( x[1] + x[2] + … + x[n])/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)=1
x[1] + x[2] + … + x[n]≧n

反対も同じです。

1/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)
x[1]・x[2]・…・x[n]≦(1/n)^n

お礼

そうでした。ありがとうございます。