Σ{k=1～n}{1/k-1/(k+1)}の解き方を教えてください。

質問

Σ{k=1～n}{1/k-1/(k+1)}の解き方を教えてください。
こんにちは。よろしくお願いします。
シグマの式の書き方がこれでいいのかわからないですが・・・。
解答では、
Σ{k=1～n}{1/k-1/(k+1)}=1-1/(n+1)=n/(n+1)　となっていましたが、よくわかりません。

Σ{k=1～n}k　を全部逆数にしたらいいのかと思ったのですが、そうなると、1/(k+1)の部分がよくわからない・・。
元々、1/(k^2+k)だったから、
Σ{k=1～n}{1/(k^2+k)}=6/{n(n+1)(2n+1)}+2/{n(n+1)}　とやってみたのですが、答えにたどり着きそうもないし・・・

よろしくお願いします

回答No.1

univ-kyoto · ベストアンサー

シグマを展開して、1+1/2+1/3+・・・+1/n-(1/2+1/3+・・・+1/n+{1/(1+n)})=1-(1/1+n)=n/(n+1)（１と-1/(1+n)以外は消える）でいいんじゃないですか？

お礼

公式知らない！→出来ない！
じゃなく、元々に戻ったら出来るんですね。
ありがとうございました。

回答No.3

hayato0320

No1の回答は誤解ではないですよ。
現にNo1とNo2の答えが同じになっています。（両方とも正解）
No2の人が勘違いされているだけなので気にしなくていいと思います。

お礼

わざわざ教えていただきありがとうございました～

回答No.2

haidast

まずn=2やn=3を代入してみて考えてみては
n=3とすると
Σ{k=1～n}[（1/k）-｛1/(k+1)｝]＝{1-（1/2)}＋{(1/2)-(1/3)}＋{(1/3)-(1/4)}

＝1－(1/4)＝1-{1/（n+1)｝
となります。(ここではn=3として計算しています)

これを一般のnに対して拡張して考えたのが解答になります。

なお下の誤答についてですが、分数の足し算では分母動詞を足し算するのではなく、分母を通分したのち分子を足すのでその解答にはなりません。
あなたの解答に従うと
（１/２）＋（１/３）＝（１/５）
となってしまいます。

お礼

んん、拡張？
１～ｎまで順番に代入してくと、
１と1/(n+1)以外が０になって消えていくという事で・・すよね？

回答ありがとうございましたー