Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる

質問

こんにちは。

[問]{φ_n(x)}を[a,b]での直交関数列とせよ。級数Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x)が関数f(x)に[a,b]で一様収束する時,各n∈Nに対してa_nはfのフーリエ係数となる事を示せ。
[証]
仮定より[a,b]でΣ[n=1..∞]a_nφ_n(x)=f(x) …(1)と言える。
c_k (k=0,1,2,…)をf(x)の{φ_n(x)}に於ける[a,b]でのフーリエ係数とすると
フーリエ係数の定義から
c_k=∫[a..b]f(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)}は直交)
=a_k∫[a...b](φ_k(x))^2dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx
=a_k
となり,一様収束である事の条件を使わなかったのですがこれで正しいのでしょうか?

回答No.4

nakaizu · ベストアンサー

そのままでは直交性
∫[a...b]φ_n(x)φ_k(x)dx=0 (n≠k)
を利用できないので、Σと∫を入れ換えないといけないのです。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

φ_n(x)φ_k(x)=δ_nkとは言えず∫[a..b]φ_n(x)φ_k(x)dx=∫[a..b]φ_n(x)φ_n(x)dxδ_nk
となるのですね。

=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n(x))φ_k(x)d
x/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=∫[a...b]a_kφ_k(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵{φ_n(x)}は直交)

はインチキですね。

=∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)d
x/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵(1))
=Σ[n=1..∞]∫[a...b]a_kφ_n(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx(∵一様収束という仮定から項別積分可能)
=∫[a...b]a_kφ_k(x)φ_k(x)dx/∫[a..b](φ_k(x))^2dx (∵直交の定義)

となるのですね。

回答No.3

nakaizu

気が付いてないだけで
∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx=Σ[n=1..∞]∫[a...b]a_nφ_nφ_k(x)dx=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx
という計算をしています。

お礼

> 気が付いてないだけで
> ∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx=Σ[n=1..∞]∫[a...b]a_nφ_nφ_k(x)dx=∫[a...b]a_
> kφ_kφ_k(x)dx
> という計算をしています。

えっ!　何故ですか?
飽くまで
∫[a...b](Σ[n=1..∞]a_nφ_n)φ_k(x)dx=∫[a...b]a_kφ_kφ_k(x)dx
は先にΣ[n=1..∞]a_nφ_nとφ_k(x)を掛けてから積分しているではないですか(記号的にも)?

回答No.2

nakaizu

もう気が付かれたかもしれませんが、一様収束じゃないと∫とΣの交換ができるとは限らないからです。

お礼

> もう気が付かれたかもしれませんが、一様収束じゃないと∫とΣの交換ができるとは
> 限らないからです。

ん? どこでも∫とΣの入れ換えは行っておりませんが…。。。
どこですか?

回答No.1

koko_u_

>一様収束である事の条件を使わなかったのですがこれで正しいのでしょうか?
一様収束性を使っていることに気づいていないので失格。