e^x-(x^0/0!+…+x^n/n!)＞0

質問

f[n](x)=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^n/n!)＞0を示せ
n=0のとき成立
n=kのとき成立すると仮定すると
n=k+1のときf[k+1](x)=f[k](x)-x^(k+1)/(k+1)!となってこれが正を示すときに別の質問で(f[k+1](x))'を使って増減表を書くと聞いたのですが(f[k+1](x))'=e^x-(x^0/0!+x^1/1!+…+x^k/k!)が0になる場所はわかるのでしょうか？

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

A#2の補足について
A#2を良く読めば分かると思いますが？

分からないから補足で質問されてると思うので
より詳しく解説させていただきます。

>>f[k](x) > 0 なのでf[k+1](x) > f[k+1](0)となる理由
と結局f[k+1]'(x) = f[k](x)…(※)を何に使ったのか良ければ教えてください

n=kの時　x>0でf[k](x) > 0…(A)　が成立すると仮定したはずですね。

f[k+1]'(x) = f[k](x) …(B)

この(B)はf [k+1](x)をxで微分した式が「= f[k](x)」
となることを示した式ですね。
(B)式が成立するところまでは分かりますね。
仮定(A)により(B)の右辺のf[k](x)は正ゆえ（B)の左辺も

f[k+1]'(x) > 0　(x > 0 ) …(C)

となりますね。

(C)は　x > 0 でf[k+1](x)が増加関数であることを表します。

ここで(※)の式は　f[k+1](x)　が増加関数であることを示す為に使っていますね。

x=0における増加関数f[k+1](x)の値
f[k+1](0)=e^0 - 1 = 0　…(D)
なので x > 0 では増加関数f[k+1](x)に対して
f[k+1](x) > f[k+1](0) = 0　(x>0)
成立します。

（注）増加関数f(x)とは任意のxa,xbに対して
xa<xbのとき f(xa)<f(xb)
を満たす関数です。
性質として　xa<xc<xbを満たすx=xcで
　f(xc)=0 なら
　「x<xcに対してf(x)<0」かつ [xc<xに対してf(x)>0」
が成立します。

お分かりになりましたか？

お礼

理解力がなくて申し訳ありません
ようやく分かりました
ありがとうございました

回答No.4

alice_44

←A No.2 補足
平均値定理により、
f[k+1](x) - f[k+1](0) = f[k+1]'(c) (x-0)
となる c が、0 ＜ c ＜ x の範囲に在ります。
f[k+1]'(x) = f[k](x) と
f[k+1](0) = 0 を上式に会わせると、
f[k+1](x) = f[k](c) x,　0 ＜ c ＜ x です。
この式から、
f[k](x) ＞ 0 ならば f[k+1](x) ＞ 0 が出ます。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.2

alice_44

x > 0 の範囲で成立　…ですよね？

0 になるのは、x = 0 のときです。
f[n](0) を計算してご覧なさい。

以前の質問に回答したとおり、
f[n](x) = e^x - (1 + x^1/1! + … + x^n/n!) と置けば、
f[k+1]'(x) = f[k](x) です。

n = k のとき成立すると仮定すると、x > 0 では f[k](x) > 0 なので、
f[k+1](x) > f[k+1](0) です。
ここで f[k+1](0) = 0 であることが効いて、f[k+1](x) > 0。
n = k+1 でも成立することが示せました。

補足

またx正を書き忘れました、すみません
f[k](x) > 0 なのでf[k+1](x) > f[k+1](0)となる理由と結局f[k+1]'(x) = f[k](x)を何に使ったのか良ければ教えてください

回答No.1

kabaokaba

数学的帰納法の使い方は理解していますか？

補足

まず何か最初の数字で成立することを示して、kが成り立つと仮定しk+1で成り立つことを示すんですよね？