Z会の問題、Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)=(1/4){1-(2n+1)(-1)^n}

質問

Z会の問題で
Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)=(1/4){1-(2n+1)(-1)^n}
というのがありました。
数学的帰納法を用いれば証明できますが、右辺の答えを知らない段階で、右辺を導く方法があれば教えてください。

Σ[k=1,n]k^2*(-1)^(k-1)
や
Σ[k=1,n]k^3*(-1)^(k-1)
や
Σ[k=1,n]k^p*(-1)^(k-1)
などの公式をご存知の方は教えてください。

回答No.4

rabbit_cat · ベストアンサー

一応、質問の回答もちょっとだけ。
等比級数の公式を導出したときみたいに、ずらして両辺を引き算する、
ていうので求まります。

あるいは、微積を使う方法もあります。（考え方は簡単な気がしますが、実際の計算は上の方法に比べて大変だったりしますが）
初項x、公比xの等比数列の和の公式より
Σ[k=1,n]x^k = {x-x^(n+1)}/(1-x)
です。
これを、両辺xで微分すれば、
Σ[k=1,n]k*x^(k-1) = …
て形になります。で、x=-1 を代入すれば、
Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)
が求まります。

Σ[k=1,n]k^2*(-1)^(k-1)
の場合は、
Σ[k=1,n]x^k = {x-x^(n+1)}/(1-x)
から、
(1)両辺をxで微分して、(2)両辺にxをかけて、(3)もう一回両辺をxで微分する
と、
Σ[k=1,n]k^2*x^(k-1) = …
の形になります。で、x=-1を代入すればいいです。

お礼

まことにありがとうございます。
続きを考えてみました。

Σ[k=1,n]x^k
に左から(xD)^pを作用させ、x=-1を代入する。二通りに計算する。

1つ目
=(xD)^pΣ[k=1,n]x^k (x=-1を代入)
=Σ[k=1,n]k^p*x^k (x=-1を代入)
=Σ[k=1,n]k^p*(-1)^k

http://mathworld.wolfram.com/DifferentialOperator.html
の公式を利用して、
2つ目
=(xD)^pΣ[k=1,n]x^k (x=-1を代入)
=Σ[i=0,p]S(p,i)x^i*D^i Σ[k=1,n]x^k (x=-1を代入)
(S(p,i)は第二種スターリング数)
=Σ[i=0,p]S(p,i)x^i*{Σ[k=i+1,n]P(k,i)x^(k-i)} (x=-1を代入)
(P(k,i)は順列)
=Σ[i=0,p]S(p,i)x^i*Σ[k=1,n-i]P(k+i,i)x^k (x=-1を代入)
=Σ[i=0,p]Σ[k=1,n-i]S(p,i)P(k+i,i)(-1)^(i+k)
=…

もしくは、
2つ目
=Σ[i=0,p]S(p,i)x^i*D^i Σ[k=1,n]x^k (x=-1を代入)
=Σ[i=0,p]S(p,i)x^i*D^i {x-x^(n+1)}/(1-x) (x=-1を代入)
=…

回答No.3

rabbit_cat

著作権を主張するには、創造性という要件があります。
グレーな部分なので、判断が難しいのは間違いないですが、この問題は、はっきりいって、非常に良く知られた問題ですので、この問題に著作権を主張するのは難しいのではないかと思います。
あえて主張するなら、問題文の文章それ自体ってことになりますが、この文章それ自体に創造性がありますかね。
最近、国語の長文問題に対する著作権の話がかなり話題になっているので、なかなか微妙なのは確かなんですが、第三者が「著作権違反」を理由に批判するのは、できれば避けて欲しいと個人的には思います。

「サイトの規約違反である」（あるいはマナー違反？）という理由で批判するのはもちろん可だと思いますが、この質問はいわゆる丸投げとは違うようですし。

回答No.2

Tacosan

積分.

回答No.1

owata-www

答え云々の前に、こんな著作権侵害みたいなことはやめてください。