数学

質問

aを0≦a＜πをみたす定数とする。0≦θ≦πの範囲で関数
f（θ）＝cos（θ+a）－cos2θ
を考える。
a≠0、a≠π/2とする。f（θ）＝0をみたすθはaを用いて、
θ＝ 、
と表される。

空欄をうめよ。

この問題の解説に
cos（θ+a）＝cos2θ
よってnを整数として、
2θ＝（θ+a）+2nπ
または
2θ＝－（θ+a）+2nπ

とあります。
これの解説をお願いします。

回答No.2

aries_1 · ベストアンサー

f(θ)=cos(θ+a)-cos2θ=0
より
cos(θ+a)=cos2θ

単位円上で考えると、円周上を一周すると角度は2πラジアン(以下ラジアン省略)になります。
ということは、角度を2π足しても足す前の角度に等しい、つまり
θ=θ+2π=θ+2・2π=θ+2・3π=…=θ+2nπ…(*)
という等式が成立します。

また、cos(θ+a)は単位円上にあるx座標が(θ+a)の点を表す(cosの定義)ので、点(1,0)にある点Aから原点を中心に時計周りに(θ+a)回転しても、反時計周りに(θ+a)回転しても移動後の点A'のx座標は同じ(θ+a)になります。

x座標が等しくなるということは
cos(θ+a)=cos{-(θ+a)}
が成立するので、
・cos(θ+a)=cos2θ
⇔θ+a=2θ…(1)
・cos{-(θ+a)}=cos2θ
⇔-(θ+a)=2θ…(2)
という2つの等式が成り立ちます。

よって(1)(2)(*)より
(1)⇔2θ=(θ+a)+2nπ
(2)⇔2θ=-(θ+a)+2nπ
となります。

この問題の場合は具体的なθの値を求める訳ではありませんので、一般形で解答する必要があります。

分かりにくかったら、すみませんm(__)m

お礼

よく理解できました！
ありがとうございました。

回答No.4

B-juggler

Ｎｏ．１　です。　ごめん完全にポカ　訂正。

２θ＝（ａ＋θ）＋２ｎπ　これでいいんだ。ごめんごめん。

（１）と（２）の右辺を比べて　θ＝±ａ＋２ｎπ　

こうやるんだった。　こっちでも同じことね。

両辺にθを加えれば問題ないからね。

気をつけなきゃいけないのは、　ａとθの範囲　だよ。

って間違えたσ(・・*)が言うと変だけど＾＾；　ヽ（・∀・）ノ　ワチョーイ　

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.3

alice_44

cos A = cos B の一般解が
B = A + 2nπ または
B = -A + 2nπ (n は整数)
であることを理解しましょう。

それには、y = cos x のグラフを書いて
y = 定数 との交点を考え、
y が共通の値になる x はどこにあるか
を探せばよいです。

A = θ+a, B = 2θ を代入すれば、
質問の式変形が現れます。

回答No.1

B-juggler

これなんかでどうかな？

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%8F%97%E9%A8%93%E6%95%B0%E5%AD%A6_%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0/%E5%85%AC%E5%BC%8F%E9%9B%86

条件はよく読んでね。ちゃんと確認しないと危ないよ。

ｃｏｓ（ａ＋θ）＝｛ｃｏｓ（ａ）｝｛ｃｏｓ（θ）｝－｛ｓｉｎ（ａ）｝｛ｓｉｎ（θ）｝　（１）

これが一つ、倍角の公式で

ｃｏｓ（２θ）＝｛ｃｏｓ（θ）｝＾２　－　｛ｓｉｎ（θ）｝＾２　（２）

ｆ（θ）＝０　なので　（１）＝（２）ね。

ん？　２θ＝（ａ＋θ）＋２ｎπ？

θじゃない？左辺。　ちょっと確認してくれる？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)