数学の問題の解説をお願いします。

質問

二次関数 f(x)=2x二乗-4ax+a+1 について、次の問に答えよ。ただし、aは定数とする。

(1) 0≦x≦4 におけるf(x)の最小値をmとするとき、mをaを用いて表せ。
(2) 0≦x≦4 において常に f(x)＞0 が成り立つように、aの値の範囲を定めよ。

この問題の解説をお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

解法
(1)
グラフを描いて以下のようにaで場合分けする。

a≦0のとき　m=f(0)=a+1
0＜a≦4のとき　m=f(a)=-2a^2 +a+1
a＞4のとき　m=f(4)=3(11-5a)

(2)
(1)の場合分けの各aの範囲で、最小値＞0となるaの範囲を求め、それらをまとめる。
a≦0のとき　m=a+1＞0 ∴-1＜a≦0
0＜a≦4のとき　m=-2a^2 +a+1=-(2a+1)(a-1)＞0 ∴0＜a＜1
a＞4のとき m=3(11-5a)＜0 ∴aの範囲なし

三つの場合をまとめて　∴-1＜a＜1

お礼

大変わかりやすい解説を有難う御座いました。
早かった回答者様の方にベストアンサーをつけさせて頂きました。

回答No.2

nattocurry

f(x)=2x^2-4ax+a+1
=2x^2-4ax+2a^2-2a^2+a+1
=2(x-a)^2-2a^2+a+1

軸はx=a

(1)
a<0のとき、最小値m=f(0)=a+1
a>4のとき、最小値m=f(4)=32-16a+a+1=-15a+33
0≦a≦4のとき、最小値m=f(a)=-2a^2+a+1

(2)
a<0のとき、
m=a+1>0
a>-1
-1<a<0

a>4のとき、
-15a+33>0
a<33/15
aの範囲なし

0≦a≦4のとき、
-2a^2+a+1>0
2a^2-a-1<0
(2a+1)(a-1)<0
-1/2<a<1
0≦a<1

まとめて、-1<a<1

お礼

とても分かりやすい解説有難う御座いました。
参考にさせて頂きます！