三角方程式の解の存在条件

質問

こんにちは。よくわからないところがあるのでお聞きします。
まず
sin二乗θ＋ acosθ－2a－1=0　を満たすθがあるような定数aの値の範囲を求めなさい
このような問題があるとき、参考書の解法ではcosθ=xと考えて↑の式を整理する。(それをf[x]とする)　それでその関数f[x]＝０が-１≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつことをつかう。とかいてあります。
ここがよくわからないのです。なぜその関数が少なくとも1つ解をもつと定数aの値がもとまるのですか。
回答お願いします。長文ですみません。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞なぜその関数が少なくとも1つ解をもつと定数aの値がもとまるのですか。

分かり難いならば、視点を変えてみよう。
数Iでグラフで、曲線（直線でも良い）と直線の交点が解を与える、という事は経験済みだろう。

cosθ＝xとするなら、条件式はx＾2-ax＋2a＝0であるから、x＾2＝ax-2a＝a*（x-2）と変形できる。
但し、-１≦x≦1。
従って、2次曲線：y＝x＾2と、直線：y＝a*（x-2）が　-１≦x≦1の範囲に少なくとも1つの交点（実数解）を持つと良い。
直線の傾きがaであり、この直線が定点（2、0）を通る直線だから‥‥‥この考え方は数Iで経験しているだろう。
実は、表面的に解法が異なるように見えるが、参考書の解の意味をグラフで表すと、以上のようになる。

計算だけでは理解できなければ、グラフを考える事は大変に重要であり、又、大きな助けになる。
常に有効とは限らないが、手掛かりが見つからなければ、グラフを書いてみる。
そうすると、何かが見えてくる。

お礼

グラフを書くという様にしてやるとこんなにも違う見え方があるのですね。
ものすごくびっくりしました。
ご丁寧な解説本当にありがとうございました。

回答No.2

owata-www

例えば、
x^4-x^2+a=0を満たすxが存在するようなaの範囲を求めなさい

という問題があったら、x^2=tとおいて
t^2-t+a=0が0≦tの範囲（なぜなら0≦x^2）で解を持つようなaの範囲を求めますよね、それと同じことです。

今回cosθ=xとおいて、与式を整理すると、cosθが-1≦cosθ≦1の範囲にあることを注意すると、xの取りうる範囲は-1≦x≦1となります。
よって、f[x]＝０が-１≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつ条件を探すわけです。

逆にf[x]=0が-１≦x≦1の範囲に少なくとも1つの解をもつ時、そのx=cosθを満たすようなθが存在して、そのθはsin二乗θ＋ acosθ－2a－1=0を満たすわけです。

拙い説明ですが、参考になれば幸いです

お礼

とてもわかりやすい例でした。
そう考えると納得しました。また自分は解をもつということがイマイチわかってないのようなのでそこを調べてみます。
回答ありがとうございました。

回答No.1

rabbit_cat

関数 f[x]は、 ２次関数になるので、
f[x] = 0
はつまり、２次方程式です。
数学Ａで、
２次方程式の解が ～ となる条件を求めなさい
みたいな問題をさんざんやったと思います。まさにそれです。

お礼

なるほど。基本的には1年生のところと同じなのですね。
一年のノート見直してみます。
回答ありがとうございました。