数学 関数

質問

関数　f(x)=xの二乗-px+2pの最小値が３より小さくならないように定数ｐの範囲を求めなさい

最小値が３だから３を代入すればいいのですか?

解説お願いします(>_<)

回答No.5

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問の回答

>-(p/2)^2+2p≧3
をどうやったらp^2-8p+12≦0 …(■)
にできるのですか？

-(p/2)^2+2p≧3

括弧を計算
-(p^2)/4 +2p≧3

4倍して
-(p^2)+8p≧12

-1を掛けると不等号の向きが変わるので
p^2 -8p≦-12

-12を移項して
p^2 -8p+12≦0

(■)の式が導かれました。
基礎的な計算ですからこの位は暗算でできる位にしておいた方が
受験などにはいいですよ。

回答No.4

WiredLogic

問題の解き方自体は、皆さんが説明なさってる通りですので、
２次式・２次関数の最小値の求め方を説明します。

ax^2 + bx + c = a(x+何とか)^2 + かんとか、と変形できて、
xがとる値が実数と決まっていれば、(～)^2 は、必ず0以上なので、
a(x+何とか)^2 は、aがプラスなら、必ず、0以上、aがマイナスなら、必ず0以下、
それで、abの正負によって、式全体は、かんとか以上（または以下)になります。

ポイントは、何とか、や、かんとか、に、xを含んでいてはいけない、ということ。
入っていると、例えば、かんとか以上と答が出ても、そのかんとかが、xの値が
変わると、変わっていくのでは、これが最小値、と特定できません。

この場合、元の式が、f(x) = x^2 - px + 2p ですから、a(x+何とか)^2 の部分を、
x^2 - px の部分を使い切って作ればいい訳です(でないと、かんとかにxが入る)。
特に、この場合、aが1(正の数)なので、計算は簡単。

(x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2 を考えて、x^2 - px と比べると、2d と -p が同じで
ないと困るので、d = -p/2。すると、(x-p/2)^2 = x^2 - px + (p/2)^2 となって、
x^2 - px の部分は、解決、ただ、これだと、(p/2)^2 の部分を足しすぎているので、
x^2 - px = {x^2 - px + (p/2)^2} - (p/2)^2 = (x - p/2)^2 - (p/2)^2、

これで、x^2 - px + 2p = (x - p/2)^2 - p^2/4 + 2p と、皆さんが指摘された式が
でてくる訳です。２乗のことを平方ともいうので、この２乗の形をつくる手法のことを
「平方完成」といいます。２次方程式の解の公式を導き出したり、２次関数の、頂点
や軸、最大・最小などを求めたりするのに、必要な手法ですから、教科書などでも
よく確認して、身に付けてください。できれば、名前ごと。

回答No.3

noname#137826

No. 2です。やってしまいました。

「3より小さくならないように」ですから、最小値は3「以上」、つまり、-(p^2)/4 + 2p >= 3　ですね。No. 1さんが正しいです。

お礼

回答ありがとうございます。

どうやったらf(x) = (x - p/2)^2 - (p^2)/4 + 2p　と変形できるのですか？(>_<)

回答No.2

noname#137826

（前置き: しつこいようですが、「xの二乗」は x^2 と書きましょう。)

f(x) = (x - p/2)^2 - (p^2)/4 + 2p

と変形できる。 (x - p/2)^2 >= 0 であるから、f(x)の最小値が3より小さくならないためには、

- (p^2)/4 + 2p > 3

であるような p の範囲を求めればよい。

この不等式は (p-2)(p-6) < 0 と変形できるので、求める p の範囲は 2 < p < 6。

回答No.1

info22_

y=f(x)=(x-p/2)^2-(p/2)^2+2p≧3
となるようにすればよい。

最小値がf(p/2)=-(p/2)^2+2p≧3
と定数pを定めればよい。

このpの不等式
-(p/2)^2+2p≧3
を解けばpの範囲が求められます。

不等式を整理すると
p^2-8p+12≦0
(p-2)(p-6)≦0

これからpの範囲が求まります。
この不等式の答えは分かりますね。

お礼

回答ありがとうございます。

-(p/2)^2+2p≧3
をどうやったらp^2-8p+12≦0
にできるのですか？