数学の問題がわからなくて困ってます…

質問

二次関数の問題です…どなたか解説してくださいませんか？

aを定数とし,f(x)=(a+1)x^2-2(a-3)x+2a　について考える

(1)a=2のとき、f(x)が最小となるｘの値は　ｘ＝(1)である。

(2)y=f(ｘ）のグラフがｘ軸と異なる二点で交わるaの範囲は　(2)＜a＜(3)、(4)＜a＜(5)

(3)方程式f(x)=0が正の解と負の解をもつときのaの値の範囲は(6)＜a＜(7)

(4)方程式f(x)の１つ解が-7と-6の間、他の解が0と1の間にあるときのaの値の範囲は(8)＜a＜(9)

こたえ
(1)-1/3
(2)-9
(3)-1
(4)-1
(5)1
(6)-1
(7)0
(8)-7/65
(9)0

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

（１）もわからないということは、今日（１）～（４）のすべてを理解することは無理です。
今日のところは（１）を理解することにし、少し余裕があれば（２）の理解にチャレンジすることにして、
（３）と（４）はあきらめましょう。
その代わり、（１）はしっかりマスターしましょう。

もしも宿題だとしても、（１）、（２）だけにして、「（３）と（４）はわかりませんでした」でよいと思います。

ちなみに、こういう問題は、センター試験の１問目辺りに出てくる典型的なパターンの問題ですよ。

（１）
ｆ（ｘ）　＝　３ｘ^2　＋　２ｘ　＋　４
ｘで微分すると、
ｆ’（ｘ）　＝　６ｘ　＋　２
極小のときは　ｆ’（ｘ）　＝　０　なので
６ｘ　＋　２　＝　０
ｘ　＝　－１／３

微分を使いたくなければ、
ｆ（ｘ）　＝　３ｘ^2　＋　２ｘ　＋　４
　＝　３（ｘ^2　＋　２／３・ｘ）　＋　４
　＝　３（ｘ^2　＋　２／３・ｘ　＋　１／９）　－　１／９　＋　４
　＝　３（ｘ　＋　１／３）^2　－　１／９　＋　４
（ｘ　＋　１／３）^2　は２乗なので、マイナスにはなりません。
ですから、（ｘ　＋　１／３）^2　がゼロのときが最小です。
つまり、
ｘ　＝　－１／３　のとき
ｆ（－１／３）　＝　０　－　１／９　＋　４
となるから最小です。

（２）
二次方程式ｆ（ｘ）＝０　の判別式Ｄが　Ｄ＞０　であればよいので、
Ｄ　＝　（－２（ａー３））^2　－　４（ａ＋１）・２ａ
　＝　４（ａ－３）^2　－　８ａ（ａ＋１）

Ｄ／４　＝　（ａ－３）^2　－　２ａ（ａ＋１）
　＝　ａ^2　－　６ａ　＋　９　－　２ａ^2　－　２ａ
　＝　－ａ^2　－　８ａ　＋　９
　＝　－（ａ^2　＋　８ａ　－　９）
　＝　－（ａ＋９）（ａ－１）
これがゼロより大きければよいので、
－（ａ＋９）（ａ－１）　＞　０
（ａ＋９）（ａ－１）　＜　０
－９　＜　ａ　＜　１
ただし、ｘ^2の係数になっている　ａ＋１　がゼロの場合はｆ（ｘ）が二次関数ではなくなり、Ｘ軸と２回交わらなくなってしまうので、
－９＜ａ＜１　かつ　ａ≠－１
ということは、
－９＜ａ＜－１　または　－１＜ａ＜１

お礼

ありがとうございます。
(3)はy軸をまたぐということはわかるんですが…