数学で、最大値を求めるらしいんですが；；

質問

数学で、ちょっとわからないところがあって困っています。

オイラーの公式を利用して、以下の問題を解け。
αを定数とし、ｘの関数
f(x)=cos(x)+(cos(x+α)/cosα)
の最大値をαの関数として求めよ。

解答で、
A=1/cosαとおくと、
z(x)=(e^jx)+Ae^j(x+α)
（なんで上のように変形できたのかわかりません。）
=(1+Ae^jα)e^jx

どなたかなぜ上のように変形できるのかの過程を説明してください。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>オイラーの公式を利用して
と書いてあるなら
ぱっと見て気がつかないといけないですね。
>f(x)=cos(x)+(cos(x+α)/cosα)
は
>z(x)=(e^jx)+Ae^j(x+α)
の実数部となります。

つまり、
z(x)=f(x)+jg(x)
f(x)=Re{z(x)}, g(x)=j Im{z(x)}
ということです。

参考（詳細な計算）
Re{z(x)}=Re{(e^jx)+Ae^j(x+α)}
=Re(e^jx)+Re{Ae^j(x+α)}
=Re{cos(x)+jsin(x)}+ARe{cos(x+α)+jsin(x+α)}
=cos(x)+Acos(x+α)
=f(x)

>最大値をαの関数として求めよ。
これは
|(1+Ae^(jα))e^(jx)|=|1+Ae^(jα)|
=√{(1+Acosα)^2+(Asinα)^2}
=√{4+(tanα)^2}
従って
最大値＝√{4+(tanα)^2}
となりますね。

お礼

よくわかりました。
ありがとうございます＾＾