数Iの問題の解き方を教えてください。

質問

2次関数 y=x^2+2(a-1)x の -1≦x≦1 における最小値について考える。
a＜0　　　ならば　最小値は　2a-1
0≦a≦2　ならば　最小値は　-(a-1)^2
a＞2　　　ならば　最小値は2a-3
である。この最小値をaの関数と考えたとき、それが最大となるのはa=(コ)のときである。

この問題の解き方を教えてください。
また、「関数と考える」とは、どういうことでしょうか？

回答No.3

kzhirai137 · ベストアンサー

「関数と考える」ということは、「その数字が変わっていく。」と考える。ということです。
「a の関数と考える」ということは、「a が変化することによって、その計算結果がどうなるかを考える」ということです。

例えば、「一人に飴を5個づつ配らなくてはならないが、何人来るかわからない」という場合は、「来る人数の関数」です。

今度は、「この袋に入った飴を5人で分けるんだけど、1人何個もらえるんだろう」というのは、「袋に入った飴の数の関数」です。

上の2つを”式”に直すと、
（必要な飴の数）＝(1人に配る飴の数） x　（来る人数）
（1人がもらえる飴の数）＝(袋に入った飴の数）／（分ける人数）
ということになります。このとき、いちいち、（必要な飴の数）とか、(袋に入った飴の数）とか書くのが面倒なので、 y とか、x とかの一文字で代用しているだけです。で、「どれかを固定しくれないと、計算しようがないじゃん」といって、固定するのが、定数で、固定しないのが、変数となり、その結果を求める式のことを「その変数の関数」と呼ぶわけです。

で、話を戻して、この問題だけに答えることを考えると、「 a が変わるとどうなるんだろう」と考えればいいことになります。
で、質問は、「その結果が最大になるのはどのときか」なので、「a の値がいろいろ変わるとして、3つ別々に考えて、1番大きくなるものを選べばいい。」ということになります。

問題文にしたがって、別々に考えます。

1. a<0　の場合
この場合，2a-1 の最大値を考えるので、a が最大になるのは、a=0 の時（負の数なので、2倍したら、どんどん小さくなる。）で、その値は、-1（厳密には、不等号で、0は含まれないので、「限りなく0に近い時に、限りなく-1に近くなる。」ということですが、、、。）
2. 0≦a ≦ 2　の場合
この場合、 ある数字（a-1)を２乗して、-１を掛けているので、最大値は０ （２乗したら必ず正の数になり、それに-１を掛けたら必ず負の数だから）になります。しかも、その0になる条件は、a-1が0になる場合、すなわち a=1 で、それは、今見ている a の範囲 ( 0≦a ≦ 2）に入っているので、「最大値は0」と言えます。
3. a ＞ 2　の場合
式が 2a - 3 なので、a が大きくなれば、どんどん大きくなります。　なので、答えとしては、∞（無限大）。

なので、この問題の答えは、∞です。

おかしいと思いますよね。それは、問題文が間違っているからです。

３番目の最小値を出す式が違います。 2a-3 ではなくて、 -2a + 3 です。

なので、問題文を正しくした場合には、

3. a ＞ 2　の場合
a にマイナスを掛けているので、 a が大きくなれば、どんどん値は小さくなってしまいます。なので、この結果が最大になるのは、a = 2 の時（厳密には、不等号のため、 2は含まれていませんが、）で、その時の値は-1となります。

まとめると、
1. のケースでは、最大値は-1（のぎりぎり手前）
2. のケースでは、最大値は0
3. のケースでは、最大値は-1（のぎりぎり手前）
となるので、「最大になるのは、2のケース」ということになり、
「じゃぁ、2のケースで、答えが0になるのはa がいくつの時だ？」と考えると、「 a = 1 の時」ということになります。

ですので、問題文が正しかった場合の答えは、"1" となります。

お礼

丁寧にありがとうございました。
分かり易かったです☆

質問の式を間違えてすみません（＞＜）

回答No.4

alice_44

区間における二次関数の最小値や最大値を扱うには、
二次関数の軸が区間より左にある場合、
区間に含まれる場合、区間より右にある場合
の三つに場合分けして考える。これは、
a などの文字が、問題にどのような形で
登場している際にも、共通の基本方針となる。

「関数と考える」については、これは本来
「最小値は a の値毎に定まる。
a を、この最小値へ対応づける関数について、
以下で考察する」とでも言うべきものだが、
数学地方の方言として、質問文中のように
表現することが多い。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

すみません、記載ミス。

>この時の最大値は
この時のzは

です。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

最小値zをz=f(a)の様に考えるってことです。

y=(x+a-1)^2-(a-1)^2
y'=2x+2(a-1)

0≦a≦2の場合、x=-a+1で極小。
a<0の場合、y'<0で単調減少。従ってx=1で最小だから、2a-1
a>2の場合、y'>0で単調増加。従ってx=-1で最小だから、-2a+3
つまり、
z=2a-1 (a<0)、-a+1 (0≦a≦2)、-2a+3 (a>2)
です。
この時の最大値は、aが0までは単調増加、a=1で極大となり、aが2以上で単調減少。zは全てのaにおいて連続であるから、a=1の時最小値zが最大となる。

お礼

ありがとうございました。