どなたか分かる方教えて頂けませんか？二次関数の最大最小の問題です。

質問

どなたか分かる方教えて頂けませんか？二次関数の最大最小の問題です。

二次関数ｙ=２X^2-４X+３の０≦X≦ａにおける最大値、最小値を求めなさいと言う問題なんですが、自分なりに解いてみたら、
０≦ａ＜１の時：最大値３(X=０)、最小値２ａ^2-４ａ+３(x=ａ）
１≦ａ＜２の時：最大値２ａ^2-４ａ+３(x=ａ）、最小値１(x=１）
２≦ａの時：最大値２ａ^2-４ａ+３(x=ａ）、最小値３(x=２）となりました。

解答は
０≦ａ≦１の時：最大値３(X=０)、最小値２ａ^2-４ａ+３(x=ａ）
１＜ａ≦２の時：最大値３(x=０)、最小値１(x=１）
２＜ａの時：最大値２ａ^2-４ａ+３(x=ａ）、最小値1(x=1）となりました。
下の二つは分かったのですが一番上の場合の最小値は１だと思います。なぜ解答のようになるのか分かる方教えて下さい。お願いします。長文ですみません。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

結論から言うと、等号の扱いをどうするのかという問題になる。

＞下の二つは分かったのですが一番上の場合の最小値は１だと思います

それも間違いではないが、それはa＝1の場合に該当する。
最大値と最小値のグラフを書いてみるとわかるが、a＝1の場合でも連続になっているだろう。
だから、その場合も含めて　ａについての場合わけは次のようにすると良い。
全ての両端に等号を付けても間違いではないから。

０≦ａ≦１の時：最大値　３(X=０)、最小値　２ａ^2-４ａ+３(x=ａ）
１≦ａ≦２の時：最大値　２ａ^2-４ａ+３(x=ａ）、最小値　１(x=１）
２≦ａの時：最大値　２ａ^2-４ａ+３(x=ａ）、最小値　1(x=1）

従って、a＝1の場合も含む解であることから、参考書(問題集)の解の方がベターだと言える。
君の解の方が、特殊なa＝1を解にしていることから一般性がないので、むしろ不適当と言える。

回答No.5

mister_moonlight

書き込みミスに今頃気がついた。

(誤)１≦ａ≦２の時：最大値　２ａ^2-４ａ+３(x=ａ）、

(正)１≦ａ≦２の時：最大値　３(x=0）、

お礼

お答え頂きありがとうございます。ご迷惑と思いますが、補足にもお答え頂けるとありがたいのですがお願いします。

補足

１≦ａ≦２の時はＸ=２でも最大値３をとると思うのでＸ=０,２になるのかと思うのですが間違いでしょうか？

回答No.3

kyouken001

たしかに
解答、aの範囲を0≦a≦1と、するならば、x＝1で最小値をとります。
また、aの範囲を1＜a≦2と、するならば、x＝0、2で最大値をとります。

、、というかですね。。
解答は、aの範囲の取り方（≦、＜）が、無茶苦茶なので、間違いだらけです。

普通にaの範囲をとるならば
0≦a＜1（x＝0で最大値、x＝aで最小値）
1≦a＜2（x＝0で最大値、x＝1で最小値）
a＝2（x＝0、2で最大値、x＝1で最小値）
2＜a（x＝aで最大値、x＝1で最小値）
が正しいです。

なんでもそうですが、正しいとされているモノ（解答や、みんな？の意見）だからと言って、必ずしも正しいとは限らないので、ご注意を。

お礼

すごく分かりやすい説明をして頂きありがとうございました。本当によくわかりました。ありがとうございました☆

回答No.2

kyouken001

たしかに
解答、aの範囲を0≦a≦1と、するならば、x＝1で最小値をとります。
また、aの範囲を1＜a≦2と、するならば、x＝0、2で最大値をとります。

、、というかですね。。
解答は、aの範囲の取り方（≦、＜）が、無茶苦茶なので、間違いだらけです。

普通にaの範囲をとるならば
0≦a＜1（x＝0で最大値、x＝aで最小値）
1≦a＜2（x＝0で最大値、x＝1で最小値）
a＝2（x＝0、2で最大値、x＝1で最小値）
2＜a（x＝aで最大値、x＝1で最小値）が正しいです。

なんでもそうですが、正しいとされているモノ（解答や、みんな？の意見）だからと言って、必ずしも正しいとは限らないので、ご注意を。

回答No.1

himajin100000

念のためにいっておくけど、

最後のケースは 2 <= x じゃないぞ？　0 <= x <= a だぞ？

お礼

勘違いをしていました。ご指摘ありがとうございます。