数Iの問題です。

質問

2次関数　y=-2x^2+4ax-2a　の最大値をＭとする。
(※Ｍ=2a^2-2a とわかりました。)

(2)|a|≦1を満たしながら変化する時、Ｍの最大値、最小値を求めよ。
【答え】　a=-1のとき最大値4、a=1/2のとき最小値-1/2

なぜa=-1、1/2　なのですか？
どうやったらこの解がでてきますか？

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

（１）の答えが出た時点で、Ｍは、もはやａの関数（二次関数）となりました。
ですから、
Ｍ　＝　２ａ^2 － ２ａ
をａの二次関数としてとらえればよいです。

ａの範囲は、－１≦ａ≦１

Ｍ　＝　２（ａ^2 － ａ）　＝　２｛（ａ － １／２）^2 － １／４）
　　＝　２（ａ － １／２）^2　－　１／２

ａの範囲に制限がないとき、Ｍが最小になるのは　ａ＝１／２　のときであることがわかりました。
そして、－１≦ａ≦１　の範囲に入っています。
ですから、ａ＝１／２のときのＭが、Ｍの最小値であることがわかりました。）

そして、これは、グラフが　ａ＝１／２　の左右に線対称であることも示しています。

ａ＝１／２　は、－１≦ａ≦１　の中央（ａ＝０）よりも右にかたよっているので、
Ｍが最大値を取るのは、左端である　ａ＝－１　のときです。

回答No.4

favre

数I頑張ってますね。この問題は同じことを２回やるだけです。

>2次関数　y=-2x^2+4ax-2a　の最大値をＭとする。
>(※Ｍ=2a^2-2a とわかりました。)

Ｍを導いたのと同じやり方で、式Ｍ=2a^2-2a をaについて整理する。
　例によって　M= p(a+q)^2 + r の形です。

この式のグラフは下向きの凸となるので、最小値はｒです。
最大値は無限大です。　
但しこれまたａに範囲指定があるので（-1≦a≦1）、
a=-1　および　a=1のときのＭを計算します。
計算値の大きい方が最大値となります。

回答No.3

0lmn0lmn0

M(a)=2a^2-2a=2(a-(1/2))^2-(1/2)
この放物線は下に凸で、
軸および頂点のa座標,(1/2)は、定義域-1≦a≦１に、
含まれているから、
　最小値をとるのは、a=(1/2)ときで、
　最大値をとるのは定義域の両端、a=-1または１のときで、
両方計算してもいいけれど、
軸a=(1/2)から、遠いのは、a=-1 だから、
最大値をとるのは、a=-1 のときと分かります。

a では判り難いと思うので、
a=Xに置き直して書くと、

　M(X)=2X^2-2X=2(X-(1/2))^2-(1/2)
この放物線は下に凸で、軸および頂点のX座標,(1/2)は、
定義域-1≦X≦１に、含まれているから、
最小値をとるのは、X=(1/2)ときで、
最大値をとるのは定義域の両端、X=-1または１のときで、
軸 X=(1/2)から、遠いのは、X=-1 だから、
最大値をとるのは、X=-1 のときです。

回答No.1

Quattro99

|a|≦1という条件からaの範囲を求めます。
M=2a^2-2aがその範囲でどういう値を取るのかを考えれば求まります（y=2x^2-2xのグラフを考える）。