この問題の解き方を教えてください！

質問

条件x^2+(y^2)/4=1のもとで関数f(x,y)=x^2yの最大値と最小値を求めよ
この問題の解き方を教えてください！

回答No.5

staratras

なおグラフの対称性と、x^2y=kのグラフはkの絶対値が大きいほど楕円から離れていくことに気がつけば、第1象限で（１）と（２）のグラフが接する接点の座標を求めれば、最大値・最小値を与えるx,yの値が得られることがわかります。
第1象限での（１）の式は　y=2√（1-x^2）で 傾きはy'=-2x/√（1-x^2）…（３）
（２）の式はy=k/x^2 で　傾きはy'=-2k/x^3 …（４）

接点では（3）と（4）の傾きは等しいのでこれらをすべて連立させて解けば
x=√6/3 が得られ、y=2√3、　x^2yの最大値は4√3/9だとわかります。

あとはすべての象限について符号に留意して接点のx，yの値を求め、最大値・最小値を求めると既回答の通りです。

回答No.4

staratras

この答えをグラフで示したものが下の図です。
条件（１）は縦長の楕円を示しています。
x^2y=ｋ…（2）　のグラフは
k>0　のとき八の字型でy軸に対称な青のグラフになり、
k<0　のときこれと逆さでy軸に対称な赤いグラフとなります。
最大値・最小値を与える（x，y）座標の点は（１）と（２）の接点を表します。
最大値が青い丸の2点、最小値が赤い丸の2点です。

回答No.3

staratras

x^2+(y^2)/4=1…（１）
f(x,y)=x^2y…（２）

ｙを消去して考えることも可能です。
x^2y=kとおくx≠0のとき　y=ｋ/x^2　これを(1)へ代入すれば
x^2+(k^2/x^4)/4=1
これを整理すれば
k^2=4x^4-4x^6
g（x）=4x^4-4x^6　とおくと
g'(x)=16x^3-24x^5
g'(x)=0 よりx=0，x=±√6/3
（１）より-1≦x≦1　だからこの範囲でg(x）の増減を考えると
g(±√6/3)=16/27 が最大値
なおx=0のときはx^2y=0　

したがって
x^2yの最大値は（x.y)=(±√6/3,2√3）のときで√(16/27)=4√3/9
x^2yの最小値は（x.y)=(±√6/3,-2√3）のとき-√(16/27)=-4√3/9

回答No.2

gamma1854

三角関数で置き換える方法以外では、
x^2*y = k とおき、楕円の式に代入(xを消去)するのも一法です。
k = (1 - y^2/4)*y
ですから、|y|≦2 のもとでｙの三次関数の増減を調べてください。

回答No.1

maskoto

x＝cosθ
y＝2sinθ
とおいて、f(x、y)を媒介変数θで表せば解けるでしょう