数I

質問

数I
二次関数の場合分けについて

関数 y = x^2 - 4x + 1 ( a ≦ x ≦ a + 1 ) について

(1)最小値を求めよ。

(2)最大値を求めよ。

という問題です。

a ≦ 1 のとき

x = a + 1 のとき最小値 a^2 - 2a -2

1 < a < 2のとき
x = 2 のとき最小値 -3

a ≧ 2のとき
x = a のとき最小値 a^2 -4a +1

としたのですが、友達は「a ≦ 1 と a ≧ 2 のイコールをはずして、1 < a < 2 にイコールをつけないとダメじゃないの？」って言ってたんですがそうなんですか？
本当ならなぜそうなのか教えてください。

また最大の方について

a < 3/2 のとき
x = a のとき最大値 a^2 -4a +1

a = 3/2 のとき
x = 3/2 , 5/2 のとき最大値 -11/4

a > 3/2 のとき
x = a + 1 のとき最大値 a^2 - 2a -2

で合っていますか？

全体的に二次関数の場合分けの仕方がハッキリと分からないので

「～場合の問題は・・・な感じで場合分けする」という風に説明をお願いします。
最大値と最小値を求める問題、最大値だけを求める問題、最小値だけを求める問題
また、二次関数の式の方に文字が入っている場合、xの範囲の方に文字が入っている場合など
場合分けの仕方や、いくつに場合分けするのか
などがよくわかりません。
お願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> 「～場合の問題は・・・な感じで場合分けする」という風に説明をお願いします。
> 最大値と最小値を求める問題、最大値だけを求める問題、最小値だけを求める問題
> また、二次関数の式の方に文字が入っている場合、xの範囲の方に文字が入っている場合など
> 場合分けの仕方や、いくつに場合分けするのか
> などがよくわかりません。

分からなくて当たり前です。
どんな風に場合分けしたらよいのかを考える問題なんですから。
「絶対にこうすれば正しく場合分けできる！」というような
万能な解法は存在しないと思います。

強いて言うなら、「どんな時に状況が変わるのか」という所に注目すると良いと思います。
それから試行錯誤ですね。
例えばy = ax^2 + 2x + 1という関数を考えます。
aの値を-2, -1, 0, 1, 2, …という風に変化させると
グラフの形がどう変わるかを想像します(このあたりが試行錯誤です)。
するとaが負の数から正の数に変化するあたりで、
グラフの形が「上に凸な放物線」から「直線」に変わり、
更に「下に凸な放物線」に変わります。
これが「状況が変わった時」です。
今回はa = 0を境目に変化するので、a < 0とa = 0と0 < aで
場合分けすればよさそうだなという方針が立ちます
(方針が立つだけです。絶対にこう場合分けすれば良いという事が
求まるわけではありません)。

最大値・最小値の場合、こんな時にも状況が変わります。

頂点が定義域内にある(頂点が最大値か最小値になる)
↓
頂点が定義域外にある(頂点が最大値にも最小値にもならない。これは状況の変化！)

(1)の場合は更にもう3つ考えます。
(1-1) 頂点が定義域の中点より左側にある
(1-2) 頂点が定義域の中点の位置にある
(1-3) 頂点が定義域の中点より右側にある

(2)の場合は更にもう2つ考えられます
(2-1) 頂点が定義域より左側にある
(2-2) 頂点が定義域より右側にある

どんな状況の変化があるのかは、自分で考えてみると良いです。

ちなみに、何に着目して状況の変化を見つければ良いのかは問題・分野によりけりです。

> a = 3/2
> の場合は二通りの最大が出ますよね？
> 最大値の値は同じですが、左右対称で二通りの最大を示す部分が出てきますよね？
> これはわけなくてもいいのですか？

分けておいた方が良いでしょう。

回答No.1

spring135

最小値
要するに等号をどこにつけるかですが統合の前後で結果（最小値）が不連続にならない限り
どこでもよろしい。質問者の書き方でも、友達の書き方でも、
a ≦ 1
1<a≦2
2<a
で分けてもよろしい。

最大値
a ≦ 3/2 のとき x=aで最大値a^2 -4a +1をとる。
3/2<aのとき x=a+1で最大値a^2 - 2a -2をとる。

だけでよろしい。a=3/2はa ≦ 3/2に含まれます。

補足

a = 3/2
の場合は二通りの最大が出ますよね？
最大値の値は同じですが、左右対称で二通りの最大を示す部分が出てきますよね？
これはわけなくてもいいのですか？