数学I

質問

２次関数　y＝x＾２＋ax＋a＋５について

（１）このグラフが、x軸と点（１、０）で交わるとき、a＝-□　となり、ほかの交点の座標は（□、□）となる。

（２）この関数の最小値が２のとき、a＝-□　またはa＝□　となる。

（３）この関数の０≦x≦２における最大値が１２のとき、a＝□　となる。

（４）この関数の０≦x≦２における最小値が３のとき、a＝□-□√□　となる。

□に一文字入ります。
答えの出し方も教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

設問1
y = x^2 + ax + a + 5が点(1, 0)を通るから
0 = 1 + a + a + 5より、a = -3
y = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)より、
x軸との他の交点の座標は(2, 0)

設問2
y = x^2 + ax + a + 5を平方完成する。
与式
= (x + a/2)^2 - a^2/4 + a + 5
最小値は-a^2/4 + a + 5。これが2であるから、
-a^2/4 + a + 5 = 2
a^2 - 4a - 12 = 0
(a + 2)(a - 6) = 0
a = -2, 6

設問3
頂点の座標は(-a/2, -a^2/4 + a + 5)
頂点のx座標-a/2が区間0≦x≦2の中央であるx=1と比べてどちら側にあるかで場合分けする。
1)-a/2 < 1、つまりa > -2の場合
x = 2のとき、最大値4 + 2a + a + 5 = 3a + 9
a > -2という条件の下で3a + 9 = 12となるのはa = 1
2)-a/2 = 1、つまりa = -2の場合
x = 0, 2のとき、最大値a + 5
a = -2という条件の下ではa + 5 ≠ 12
3)-a/2 > 1、つまりa < -2の場合
x = 0のとき、最大値a + 5
a < -2という条件の下ではa + 5 ≠ 12
以上より、区間0≦x≦2における最大値が12となるとき、a = 1

設問4
頂点の座標は(-a/2, -a^2/4 + a + 5)
頂点のx座標-a/2が区間0≦x≦2と比べてどちら側にあるかで場合分けする。
1)-a/2 < 0、つまりa > 0の場合
x = 0のとき、最小値a + 5
a > 0という条件の下では、a + 5 ≠ 3
2)0 ≦ -a/2 < 2、つまり-4 ＜ a ≦ 0の場合
x = -a/2のとき、最小値-a^2/4 + a + 5
これが3になるのは、-a^2/4 + a + 5 = 3より、
a^2 - 4a - 8 = 0
a = 2 ± √(4 + 8) = 2 ± 2√3
-4 ＜ a ≦ 0であるから、a = 2 - 2√3
3)-a/2 ≧ 2、つまりa ≦ -4の場合
x = 2のとき、最小値3a + 9
a ≦ -4という条件の下では、3a + 9 ≠ 3
以上より、区間0≦x≦2における最小値が3となるとき、a = 2 - 2√3

お礼

色々とありがとうございました。

回答No.2

asuncion

設問3の回答の考え方がおかしいかもしれません。
そこは他の回答者さんにお任せします。