∞ の定義

質問

a を正の実数として∞ を数式で定義するなら

(1) ∞ は、a * ∞ = ∞ ＾a = ∞ / a = ∞ + a = ∞ - a が成り立つと定義した上で考えられる数ですか？

(2) (1)が正しいなら、∞ を導いた式はすべて = で結べるということですか？

回答No.8

ibm_111 · ベストアンサー

超準解析を使えばたぶん答えは（1）（2）ともにYes
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis1.htm

ただし、超準解析を使ってうれしいことがあまりない気がします。
普通に数学で無限を扱うならNo.7さんの回答で十分です。

お礼

超準解析は理解するのは難しいですが、そのようなものがあるということを教えてくださってありがとうございます。

回答No.9

naniwacchi

#6です。

＞あくまでも a > 0 です。a = 0 は考えません。
＞そして、 ∞ の特殊性を考慮します

「特殊性」とはどういう内容の性質でしょうか？
(1)の等式を【定義】したことが、特殊性ですか？

#4さんへの補足において、以下のように書かれています。
＞∞ を数として計算しないで、
＞無限大は無限大としてとらえ答えに反映して欲しいです。

ということは、
∞ + a＝∞ - a
2a＝ ∞ - ∞

この右辺はどうするのでしょうか？0ではない？無限大とする？
a * ∞＝ ∞ /aについても同様のことが言えるかと。

そして、∞ - ∞は有限確定値にもそのまま無限大となる場合もありますよね。
参考：http://okwave.jp/qa/q5849712.html

先の回答では、(1)で【定義】した上で、(2)を考えると矛盾が出ると考えたのですが。
（ゆえに背理法で考えれば、定義に無理があるのかと）

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5849712.html

補足

特殊性の考え方はあっています。

続いて
∞ + a = ∞ - a
∞ - ∞ の左の ∞ と右の ∞ は規模的に違います。というのが私が考えているところです。

2 a = ∞ - ∞ は (左の ∞ )は(右の ∞ )より 2 a 大きいということです。

回答No.7

ramayana

若干それるかも知れませんが。無限大を数学で扱うときは、以下のようにいくつかのパターンがあって、それぞれ別の意味で使っています。無限大を数値として扱うことはもちろん、無限大という概念の汎用の定義も、ないはずです。

（１）　極限n→∞のように、nが限りなく大きくなる状態を表す場合

（２）　無限集合のように、要素が有限でない集合の濃度を指す場合

（３）　複素平面の無限遠点のように、ある種の位相空間の点を表す場合

お礼

一緒に一つの問題をかんがえてくださりありがとうございます。

補足

若干それているように思います。∞ の特殊性が論点です。

回答No.6

naniwacchi

拝見してて、ふと思ったことですが。

(1)が正しいとして、さらに(2)で「∞ + a = ∞ - a」が成り立つとします。
単純にこの式が解けるとすると a＝ 0となって、
aが正の実数であることに矛盾してしまいます。

お礼

一緒に一つの問題をかんがえてくださりありがとうございます。

補足

あくまでも a > 0 です。a = 0 は考えません。そして、 ∞ の特殊性を考慮します。

回答No.5

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

∞はある特定の数ではないため、∞＝∞なる等式すらあり得ません。

∞は概念であることをお忘れなく。

お礼

一緒に一つの問題を考えてくださりありがとうございます。

補足

ANo.4 の補足を参照してください。
お手数掛けます。
その上でANo.3 の補足を参照してください。

回答No.4

ereserve67

（1）はあえていうなら正しくないと思います．なぜなら∞には何種類もあるからです．

例えばN>>1として，N＝∞，2^N=∞ですが，(1)でa=2として∞+2=∞-2に当てはめると

N+2=2^N-2∴(N+2)/(2^N-2)=0

一方

(∞+2)/(∞-2)=1

となる可能性もあります．これらの2つの結果が食い違うのはN＝∞，2^N=∞といっても前者の∞と後者の∞は異なるということです．

(2)は(1)が正しくないので正しくありません．（0=1がその例）

補足

∞ を特殊性を持つ記号と考えていただきたいです。
これを最初に書いておくべきだったか。
∞ を数として計算しないで、
無限大は無限大としてとらえ答えに反映して欲しいです。

回答No.3

B-juggler

御両名がいらっしゃる中だから、なんとも＾＾；

元代数学の非常勤なんて変わり者です。

「数」として捉えないこと、は分かってあるとして。

（１）の場合ね、　定義どおりのａを考えるときに、

ａ×∞　＝　∞　　（以下略です、同じなので）

と解釈してよろしい・・・、というのが捕まえ方だと思う。

ところが、（２）なんだけど、

全て　イコール　でつないでいいか？　といわれれば、σ(・・*)はいけない！とするかな。

要するに、「∞」を数が何らかの形で発散しているもの　のように捉えてあげると、

ａの大きさによって、演算の結果が変わってくるでしょう？

発散の状態が違うというべきか？

この辺は難しい。本業でもないし・・・。

「むやみに　決められないもの」としておいた方がいいと思いますよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

Ｐｓ．　これはどの分野になるんだろう？　密度？（だったら集合？）

補足

(2) 例えば、∞ / 1 = ∞
∞ / ( + 0) = ∞
のとき、上の 2 式の右辺が無限大になってますが、
∞ の特殊性から、
上の 2 式の右辺の ∞ は同じレベルの ∞ になり、
それゆえ上の 2 式の左辺は等しくなり、
∞ / 1 = ∞ / ( + 0)
とかけると思うのですが。
この辺のところを知りたいと思います。

回答No.2

kabaokaba

∞が満たしてほしい性質を列挙して
∞が「数」だとして計算した場合に矛盾が発生する．

「数が満たすべき性質」のうち
「∞が満たさない性質」があるわけだ．

つまり∞とは数ではない．
すくなくとも「通常の数とは同列なものではない」ことは明らかである

これを「明らか」だと思えない，思いたくないのがそうとう存在するようだが

補足

∞ が数ではないことは分かっています。数と言っておいた方が分かりやすいと思ったからです。(1)で示した定義が ∞ が数として考えられないことの証明になることとおもいます。なぜなら、∞ を数として考えると(1)の式は成り立たないからです。だからこそ、∞ は特別に扱うべきものだと考えます。その上で（1)の式を検討していただきたく思います。

回答No.1

Tacosan

∞ は「数」じゃないけどねぇ.

補足

ANo.2への補足を参照してください。