割り算の定義

質問

aを整数、bを正の整数とするとき、
a = bq + r , 0 ≦ r < b
を満たす整数q、rの組みがただ一つ存在する。（qは商、rは余り）

と「大学への数学」という雑誌にありました。

bが負の整数のときは、 0 ≧ r > bと考えるべきでしょうか？

そもそもこの定義、q以外は整数から拡張して有理数や実数にも適用できるものなのでしょうか？（出来るような気がしますが。）

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

b が負のときには 0 ≧ r > b とすることも 0 ≦ r < |b| とすることもあります. あるいは, 正負に関係なく「|r| を最小化する」という定義にもできます.
そして, 想像通り有理数や実数にも拡張できますし, 「|r| を最小化」とすれば複素数にも拡張できます.

お礼

回答ありがとうございます。
回答を受けた上で疑問なのですが、とすると例えば、
10を-3.5で割ったとします。
余りの定義が0 ≧ r > b なら、10 = -3.5 X 3 + (-0.5)で余りが-0.5なのに対し、
余りの定義が0 ≦ r < |b| なら、10 = -3.5 X (-2) + 3で余りが3ということなのでしょうか。

それに、「|r| を最小化する」とは、余りは「|r|が最も小さくなるrとする」ということなのでしょうか？

回答No.2

Tacosan

全部ひっくるめてその通りです.
なお, 除数 b が正の場合であっても, 「|r| を最小化する」 r を余りとして採用することも考えられます. この場合, b が正であるにもかかわらず余り r が負になることもあります.

お礼

大変ありがとうございました。
良くわかりました。